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la $0$^ième ; en sorte que la valeur de $y_{x,t}$ qui répond à $x=a$ soit toujours identique avec celle qui répondra à $x=0\,;$ ce qui donnera cette autre condition $y_{a,t}=y_{0,t},$ quel que soit $t.$

Maintenant si l’on rapporte l’équation différentielle trouvée ci-dessus à la formule (F) du n^o 7, on a

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =n-1,\quad \mathrm {B} '=0,\quad \mathrm {C} '=-n\,;$

ce qui rentre dans le second cas du n^o 11 ; en sorte que, à cause de

$p=-\mathrm {\frac {B}{C'}} =1-{\frac {1}{n}},\quad q=\mathrm {\frac {A}{B}} ={\frac {1}{n-1}},$

on aura sur-le-champ

$y_{x,t}=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{t}\left[y_{x,0}+{\frac {t}{n-1}}y_{x-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2(n-1)^{2}}}y_{x-2,0}+\ldots \right],$

le nombre des termes étant $t+1.$

Or comme on doit avoir $y_{0,t}=y_{a,t},$ quel que soit $t,$ il est visible que pour satisfaire à cette condition, il faudra que l’on ait

$y_{0,0}=y_{a,0},\quad y_{-1,0}=y_{a-1,0},\quad y_{-2,0}=y_{a-2,0},\ldots ,$

et, en général.

$y_{-s,0}=y_{a-s,0},$

$s$ étant un nombre positif quelconque ou zéro. Ainsi, comme les valeurs de $y_{x,0}$ sont supposées connues depuis $x=1$ jusqu’à $x=a$ inclusivement, on connaîtra toutes les valeurs de $y_{x,0}$ qui peuvent entrer dans l’expression précédente de $y_{x,t}.$

Corollaire.

65. Si l’on ne voulait pas que les billets tirés de la dernière urne rentrassent dans la première, mais qu’on mît toujours dans celle-ci un billet blanc après chaque extraction, il n’y aurait alors qu’à supposer que l’urne oième qui est censée précéder la première urne, ne contint que des