la
ième ; en sorte que la valeur de
qui répond à
soit toujours identique avec celle qui répondra à
ce qui donnera cette autre condition
quel que soit
Maintenant si l’on rapporte l’équation différentielle trouvée ci-dessus à la formule (F) du no 7, on a
![{\displaystyle \mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =n-1,\quad \mathrm {B} '=0,\quad \mathrm {C} '=-n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a88f56cb9c6abffd21149ab0342844d398a7a37)
ce qui rentre dans le second cas du no 11 ; en sorte que, à cause de
![{\displaystyle p=-\mathrm {\frac {B}{C'}} =1-{\frac {1}{n}},\quad q=\mathrm {\frac {A}{B}} ={\frac {1}{n-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52615ba9de6cb6e65848a9cbfb3e6cebdc5a5abf)
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle y_{x,t}=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{t}\left[y_{x,0}+{\frac {t}{n-1}}y_{x-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2(n-1)^{2}}}y_{x-2,0}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052ea2ffffb985766f1ef8ee6ac7f295f00fa5c0)
le nombre des termes étant ![{\displaystyle t+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4b47b8754fd3f28d18a0cbe0ddd17a79ed5fcf)
Or comme on doit avoir
quel que soit
il est visible que pour satisfaire à cette condition, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle y_{0,0}=y_{a,0},\quad y_{-1,0}=y_{a-1,0},\quad y_{-2,0}=y_{a-2,0},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a122879245354fb1808c9be89d9eccbc431bcc)
et, en général.
![{\displaystyle y_{-s,0}=y_{a-s,0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3fd87ed4c2e30bf7aef517b4839d7ab8a47668)
étant un nombre positif quelconque ou zéro. Ainsi, comme les valeurs de
sont supposées connues depuis
jusqu’à
inclusivement, on connaîtra toutes les valeurs de
qui peuvent entrer dans l’expression précédente de ![{\displaystyle y_{x,t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34eddd71d86f8aba5b14d0995f021fb0a7f831eb)
Corollaire.
65. Si l’on ne voulait pas que les billets tirés de la dernière urne rentrassent dans la première, mais qu’on mît toujours dans celle-ci un billet blanc après chaque extraction, il n’y aurait alors qu’à supposer que l’urne oième qui est censée précéder la première urne, ne contint que des