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27. Si l’on imagine que le pôle de l’équateur, celui de l’écliptique et le lieu d’un astre quelconque soient joints par trois arcs de grands cercles, et qu’on dénote par $c$ l’arc qui joint les deux pôles, par $a$ l’arc qui joint le lieu de l’astre et le pôle de l’équateur, et par $b$ l’arc qui joint le lieu de l’astre et le pôle de l’écliptique, il est clair qu’on aura un triangle sphérique dont les trois côtés seront $a,b,c,$ et il est visible que le côté $c$ sera égal à l’obliquité de l’écliptique, que le côté $a$ sera le complément à $90$ degrés de la déclinaison de l’astre, et que le côté $b$ sera le complément à $90$ degrés de la latitude de l’astre. Ensuite, si l’on nomme, comme plus haut, $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles respectivement opposés aux côtés $a,b,c,$ il n’est pas difficile de voir que l’angle $\gamma$ sera l’angle de position de l’astre, que l’angle $\alpha$ sera le complément à $90$ degrés de la longitude de l’astre, et que l’angle $\beta$ sera l’ascension droite de l’astre augmentée de $90$ degrés.

Soit donc un astre dont la longitude soit $\mathrm {L} ,$ la latitude $\lambda ,$ l’ascension droite $\mathrm {D} ,$ la déclinaison $\delta ,$ son angle de position $p,$ on aura

$a=90^{\circ }-\delta ,\quad b=90^{\circ }-\lambda ,\quad \alpha =90^{\circ }-\mathrm {L} ,\quad \beta =90^{\circ }+\mathrm {D} ,\quad \gamma =p,$

et nommant $c$ l’obliquité de l’écliptique, les deux premières formules du n^o 26, à cause de

$\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right),\quad \cot {\frac {b}{2}}=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right),$

donneront

${\begin{aligned}p&=\quad \left[\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} \,{\frac {c}{2}}\cos \mathrm {L} \\&+{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\mathrm {L} \\&-{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\cos 3\mathrm {L} \\&-{\frac {1}{4}}\left[\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{4}{\frac {c}{2}}\sin 4\mathrm {L} \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$