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${\begin{aligned}\mathrm {D} =&\mathrm {L} -\ \left[\operatorname {tang} \,\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} \ \left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} \,{\frac {c}{2}}\cos \mathrm {L} \\&-{\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\mathrm {L} \\&+{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)+\operatorname {tang} ^{3}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\cos 3\mathrm {L} \\&+{\frac {1}{4}}\left[\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }+{\frac {\lambda }{2}}\right)-\operatorname {tang} ^{4}\left(45^{\circ }-{\frac {\lambda }{2}}\right)\right]\operatorname {tang} ^{4}{\frac {c}{2}}\sin 4\mathrm {L} \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Ces deux formules sont fort remarquables par leur simplicité et par l’usage dont elles peuvent être dans l’Astronomie ; la seconde surtout peut être d’une grande utilité pour réduire les longitudes et les latitudes des planètes en ascensions droites et en déclinaisons ; car à cause que $\lambda$ n’est jamais $>9$ degrés pour les planètes, on aura immédiatement la différence entre la longitude $\mathrm {L}$ et l’ascension droite $\mathrm {D}$ par une série fort convergente ; dès qu’on aura trouvé $\mathrm {D} ,$ on aura la déclinaison $\delta$ par une seule analogie, parce que dans le triangle dont les côtés sont $a,b,c,$ et les angles opposés $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on a

$\sin a:\sin b=\sin \alpha :\sin \beta ,$

et, mettant pour $a,b,\alpha ,\beta$ les valeurs ci-dessus,

$\cos \delta :\cos \lambda =\cos \mathrm {L} :\cos \mathrm {D} \,;$

d’où

$\cos \delta ={\frac {\cos \lambda \cos \mathrm {L} }{\cos \mathrm {D} }}$^[1].

28. L’analyse que nous avons exposée au commencement de ce Mémoire peut aussi être employée directement à résoudre d’autres équations plus compliquées que celle laquelle nous l’avons appliquée. C’est ce que je vais indiquer en peu de mots.

1. Les deux formules précédentes ont déjà été publiées sans démonstration dans le troisième volume des Tables astronomiques de Académie.