l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }{\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db919f6c17aa15532f36e9c51d5279035d7a96)
d’où l’on tire par les logarithmes, comme plus haut,
![{\displaystyle x=y+\mathrm {\left(P+Q+\ldots \right)} \sin y-\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}+\ldots }{2}} \sin 2y+\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}+\ldots }{3}} \sin 3y-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c6b22e011c86745929839be5bb12a580d579b7)
31. Si la valeur de
contenait des sinus et des cosinus tant au numérateur qu’au dénominateur, comme si l’on avait à résoudre l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} x={\frac {a\sin y+b\cos y}{\cos y+p\sin y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb9d8445d4cc0de27d93ce253b382f1ef4a71f0)
on pourrait aussi par la même méthode trouver une série convergente pour exprimer la valeur de
en
pourvu que
fût toujours peu différent de l’unité, et
des coefficients fort petits relativement à ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
En effet on aura alors
![{\displaystyle {\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {(\cos y+p\sin y)+(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}{(\cos y+p\sin y)-(a\sin y+b\cos y){\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf47a410923f0a104d45b723fb8cfbb1ee013a3)
et passant aux exponentielles
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}{\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{y{\sqrt {-1}}}+\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]e^{-y{\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a5c36c0537eb14107f8e76487cb454ea64940f)
ou bien
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left[1+a+(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a+(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{\left[1+a-(b-p){\sqrt {-1}}\right]+\left[1-a-(b+p){\sqrt {-1}}\right]e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cc7b631e60ee800018720914873ac6427423c7)
Soit maintenant
![{\displaystyle {\frac {b-p}{1+a}}=\operatorname {tang} \alpha ,\quad {\frac {b+p}{1-a}}=\operatorname {tang} \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8450e0f627e6d6dede45af41485528123c95017b)
on aura
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca33db0e0500b730d95a362ceae3fb4cfad48f6)
![{\displaystyle e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {(1+a)\left(1+\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1+\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{(1+a)\left(1-\operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}\right)+(1-a)\left(1-\operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}\right)e^{2y{\sqrt {-1}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7300576a7ec312dbb8a5ff55a0d65524f843438a)