mais
![{\displaystyle 1\pm \operatorname {tang} \alpha {\sqrt {-1}}={\frac {e^{\pm \alpha {\sqrt {-1}}}}{\cos \alpha }},\quad 1\pm \operatorname {tang} \beta {\sqrt {-1}}={\frac {e^{\pm \beta {\sqrt {-1}}}}{\cos \beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9680c5eec0b80af251956cea1cbc758e8fa7c4)
donc substituant ces valeurs, divisant le haut et le bas de la fraction par
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {1-a}{1+a}}{\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f052d97a5ac0a2e4246fede352f2292294114e0)
on aura
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {e^{\alpha {\sqrt {-1}}}+ke^{\beta {\sqrt {-1}}}\times e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}+ke^{-\beta {\sqrt {-1}}}\times e^{2y{\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c56888a6c7991d63307ac07013596135ccbddc)
savoir
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2(y+\alpha ){\sqrt {-1}}}{\frac {1+ke^{-(2y+\alpha -\beta ){\sqrt {-1}}}}{1+ke^{(2y+\alpha -\beta ){\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799334bdda3f368b83267806a4164a3bfa2bf78b)
d’où en prenant les logarithmes, réduisant en série, divisant par
et repassant des exponentielles imaginaires aux sinus et cosinus réels, on tire sur-le-champ
![{\displaystyle x=y+\alpha -k\sin(2y+\alpha -\beta )+{\frac {k^{2}}{2}}\sin 2(2y+\alpha -\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ae5155d1e50c26c04ba48e3ee024442b90f86b)
![{\displaystyle -{\frac {k^{3}}{3}}\sin 3(2y+\alpha -\beta )+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa1a0cdd91396cfcd4c08a36796e34841777413)
Or on a
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1+a}{\sqrt {(1+a)^{2}+(b-p)^{2}}}},\quad \cos \beta ={\frac {1-a}{\sqrt {(1-a)^{2}+(b+p)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc15d37d761e493b47df5478373150b87d1e6de)
donc on aura
![{\displaystyle k={\frac {\sqrt {(1-a)^{2}+(b+p)^{2}}}{\sqrt {(1+a)^{2}+(b-p)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ccf4aff2333a3fb4b0bbdabe13cbb9efe4ba0c)
quantité qui est, comme on voit, très-petite de l’ordre de
ainsi la série précédente sera nécessairement convergente.
Au reste on voit par là que pourvu que
diffère peu de l’unité, et que
diffère en même temps peu de
la quantité
sera nécessairement très-petite du même ordre que ces différences ; par conséquent la série sera convergente, sans qu’il soit nécessaire que
et
soient à la fois très-petites l’une et l’autre.