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et l’intégrale particulière sera le résultat de l’élimination de $a$ au moyen de cette équation

$f'(a)-x=0,$

et de l’équation

$y-ax+f(a)=0\,;$

or il est visible que ce résultat sera le même que celui de l’élimination de $p$ au moyen des équations

$f'(p)-x=0,\quad y-px+f(p)=0\,;$

donc, etc.

20. Le dernier Exemple du n^o 6 est tiré de l’équation différentielle

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

dans laquelle $\mathrm {X}$ est un quinôme en $x,$ et $\mathrm {Y}$ un quinôme semblable en $y\,;$ mais nous supposerons ici que $\mathrm {X}$ soit, en général, un polynôme quelconque en $x,$ et $\mathrm {Y}$ un polynôme quelconque en $y,$ et nous désignerons par $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {Y} '$ les valeurs de ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ et de ${\frac {d\mathrm {Y} }{dy}},$ lesquelles seront par conséquent aussi des polynômes en $x$ et $y,$ mais d’un degré inférieur d’une unité.

Puis donc que

${\frac {dy}{dx}}=\mathrm {\frac {\sqrt {Y}}{\sqrt {X}}} ,$

on trouvera par la différentiation, après avoir réduit au dénominateur commun,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {XY} '{\cfrac {dy}{dx}}-\mathrm {YX} '}{2\mathrm {X{\sqrt {XY}}} }},\quad {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {\mathrm {YX} '{\cfrac {dx}{dy}}-\mathrm {XY} '}{2\mathrm {Y{\sqrt {XY}}} }},$

en prenant dans la première formule $dx$ constant et dans la seconde $dy$ constant.

Supposons d’abord que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ n’aient aucun diviseur commun, non plus que les quantités $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Y} ',$ ce qui arrive lorsque les