équations
et
n’ont point de racines égales ; dans ce cas le numérateur et le dénominateur de l’une et de l’autre quantité
et
n’auront non plus de diviseur commun.
Donc :
1o En faisant
on aura les deux équations
![{\displaystyle \mathrm {XY} '{\frac {dy}{dx}}-\mathrm {YX} '=0,\quad \mathrm {X{\sqrt {XY}}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e14eb10b22306ae2cdc6169ee4be377a399bab)
dont la seconde donne ou
ou
mais la première donne, par la substitution de la valeur de ![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd719c81f0f49493fe4e12492b12399d55d03568)
![{\displaystyle \mathrm {Y'{\sqrt {XY}}-YX'} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2660b853a6f625176c16af8011a407811962a4c0)
faisant
cette équation se réduit à
laquelle donnerait
ce qui est contre l’hypothèse ; faisant
l’équation précédente se trouve remplie d’elle-même ; ainsi
est une intégrale particulière.
2o Si l’on fait
on trouvera, par un raisonnement semblable, l’intégrale particulière
de sorte que ces deux intégrales particulières auront lieu en même temps.
Si l’on suppose que
et
aient un diviseur commun, alors il est aisé de voir que ce diviseur disparaîtra entièrement par la division du dénominateur de la quantité
par conséquent il ne pourra servir à rendre cette quantité égale à
il en sera de même relativement à la quantité
si
et
ont un diviseur commun.
D’où il faut conclure, en général, que l’équation proposée
![{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {y}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcd9d260b192501ebcad3523ef6d768fd7e78bd)
aura pour intégrales particulières tous les facteurs simples des deux