ces points doivent nécessairement se couper dans un point intermédiaire ; par conséquent, en faisant coïncider les deux points d’attouchement, le point d’intersection des deux courbes touchées se confondra avec eux ; d’où il suit que la courbe touchante est formée par l’intersection mutuelle et successive des courbes données par l’équation en faisant varier le paramètre donc cette courbe satisfera à l’équation ce qui est d’ailleurs évident, puisque suivant ce point de vue la courbe dont nous parlons n’est composée que de portions infiniment petites des courbes représentées par l’équation et dont chacune satisfait à la même équation
23. Maintenant, si l’on regarde comme une fonction de et de donnée par l’équation il est clair que, pour la même abscisse les coordonnées qui répondent à deux courbes infiniment proches seront, en général, et donc, au point d’intersection de ces deux courbes, on aura par conséquent, si l’on élimine au moyen des deux équations et on aura l’équation de la courbe formée par les intersections continuelles de toutes les courbes contenues dans l’équation laquelle sera aussi la courbe qui touchera toutes ces mêmes courbes.
On prouvera de même, en regardant comme fonction de et de que la condition combinée avec l’équation en sorte que disparaisse, donnera aussi la courbe touchante des mêmes courbes.
D’où et de ce que nous avons démontré plus haut (4 et 5) on doit conclure que l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre est représentée par la courbe qui touche toutes les différentes courbes représentées par l’intégrale complète de cette équation, en faisant varier la constante arbitraire, c’est-à-dire toutes les différentes courbes qui peuvent être représentées à la fois par la même équation différentielle.
