10. S’il n’y a que deux corps
alors (1)
![{\displaystyle \Omega ={\frac {\mathrm {MM} '}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b56be93b846bd6948ba7c91aab134cdcdb9a990)
d’où l’on tire par la différentiation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dx}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(x-x')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d\Omega }{dy}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(y-y')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d\Omega }{dz}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(z-z')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754284ecef7bde3e1e05a832ddd610238ca297b2)
mais on a dans ce cas, par la propriété du centre de gravité, en supposant que ce centre soit l’origine des coordonnées (5),
![{\displaystyle \mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'=0,\quad \mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'=0,\quad \mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c4081a766df31cbecc242c112b535193dd8049)
ce qui donne
![{\displaystyle x'=-{\frac {\mathrm {M} x}{\mathrm {M} '}},\quad y'=-{\frac {\mathrm {M} y}{\mathrm {M} '}},\quad z'=-{\frac {\mathrm {M} z}{\mathrm {M} '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd8d3d76eecb45ce808760fa1bad9f627302cc1)
donc, substituant et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bf78a32803b47e698c573e4148523ba03179a2)
en sorte que
soit le rayon vecteur, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dx}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x}{r^{3}}},\quad {\frac {d\Omega }{dy}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y}{r^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd375c571cf48bfb301b50e1cc555d93e5d2dd80)
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dz}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z}{r^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12755b175a7f3e43b8c25e772dc811b574f51e3)
par conséquent le mouvement du corps
autour du centre de gravité, des corps
et
sera déterminé (2) par ces équations
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y}{r^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be1f93c0d21ddd48dad76c2b2991a1143470b7)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z}{r^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bd7d989a2cf7bf1f33b128fea73dfdee846e18)
lesquelles font voir que ce mouvement sera le même que si le corps était attiré vers le centre dont il s’agit, supposé fixe, par une force égale à ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} '3}{(\mathrm {M+M'} )^{2}r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ab11082b3fa6071fab2fae98914d92e2b921a4)