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dont les intégrales

${\begin{aligned}&\mathrm {M} {\frac {ydx-xdy}{dt}}+\mathrm {M} '{\frac {y'dx'-x'dy'}{dt}}+\mathrm {M} ''{\frac {y''dx''-x''dy''}{dt}}+\ldots =a,\\&\mathrm {M} {\frac {zdx-xdz}{dt}}+\mathrm {M} '{\frac {z'dx'-x'dz'}{dt}}\,+\mathrm {M} ''{\frac {z''dx''-x''dz''}{dt}}\,+\ldots =b,\\&\mathrm {M} {\frac {zdy-ydz}{dt}}\,+\mathrm {M} '{\frac {z'dy'-y'dz'}{dt}}\ +\mathrm {M} ''{\frac {z''dy''-y''dz''}{dt}}\,\ +\ldots =c,\end{aligned}}$

renferment le principe connu des aires.

8. Enfin si l’on substitue les mêmes valeurs de ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},\ldots$ dans

${\begin{aligned}d\Omega &={\frac {d\Omega }{dx}}dx+{\frac {d\Omega }{dx'}}dx'+{\frac {d\Omega }{dx''}}dx''+\ldots \\&+{\frac {d\Omega }{dy}}dy\,+{\frac {d\Omega }{dy'}}dy'\,+{\frac {d\Omega }{dy''}}dy''\,+\ldots \\&+{\frac {d\Omega }{dz}}dz\,+{\frac {d\Omega }{dz'}}dz'\ +{\frac {d\Omega }{dz''}}dz''\ +\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}d\Omega &=\mathrm {M} {\frac {dxd^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {M} '{\frac {dx'd^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ''{\frac {dx''d^{2}x''}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\mathrm {M} {\frac {dyd^{2}y}{dt^{2}}}\ +\mathrm {M} '{\frac {dy'd^{2}y'}{dt^{2}}}\,+\mathrm {M} ''{\frac {dy''d^{2}y''}{dt^{2}}}\,+\ldots \\&+\mathrm {M} {\frac {dzd^{2}z}{dt^{2}}}\ \,+\mathrm {M} '{\frac {dz'd^{2}z'}{dt^{2}}}\,+\mathrm {M} ''{\frac {dz''d^{2}z''}{dt^{2}}}\,+\ldots ,\end{aligned}}$

dont l’intégrale

$\Omega =\mathrm {M} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {M} '{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}$

$+\mathrm {M} ''{\frac {dx''^{2}+dy''^{2}+dz''^{2}}{2dt^{2}}}+\ldots +h$

contient le principe de la conservation des forces vives.

9. Les intégrales que nous venons de trouver dans les deux numéros précédents, ainsi que celles qui donnent le mouvement du centre de gravité (4, 5), sont connues depuis longtemps ; mais la manière dont nous y sommes parvenus, par la considération de la fonction $\Omega ,$ est nouvelle et peut être utile dans d’autres occasions.