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L’équation générale de toutes ces lignes droites renfermant donc une constante arbitraire ; elle donnera nécessairement la solution complète du Problème ; et il est facile de prouver, par les propriétés connues des sections coniques, que toutes ces droites seront tangentes à la section conique que nous avons vu résoudre aussi le Problème ; de sorte que la solution par une section conique ne sera qu’une solution particulière.

En effet, pour réduire le Problème en équation, on remarquera que, si de l’origine des coordonnées on mène une perpendiculaire à une tangente quelconque d’une courbe dont les coordonnées soient $x$ et $y,$ et qu’on nomme $t$ et $u$ les coordonnées qui se rapportent au point de la tangente sur laquelle tombe la perpendiculaire, on remarquera, dis-je, que les formules trouvées dans le n^o 25 ci-dessus donneront

$u={\frac {(ydx-xdy)dx}{dx^{2}+dy^{2}}},\quad t=-u{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {(ydx-xdy)dy}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;$

maintenant si l’on fait passer l’axe des abscisses par les deux points donnés, qu’on prenne le premier de ces deux points pour l’origine, et qu’on nomme $b$ la distance entre les deux points et $c$ la grandeur donnée, il est aisé de concevoir qu’on aura

$c^{2}=(b-t)^{2}+u^{2}\,;$

donc

$t^{2}+u^{2}-2bt=c^{2}-b^{2},$

et substituant pour $t$ et $u$ les valeurs ci-dessus,

${\frac {(ydx-xdy)^{2}+2b(ydx-xdy)dy}{dx^{2}+dy^{2}}}=c^{2}-b^{2}\,;$

d’où, en multipliant par $dx^{2}+dy^{2},$ et extrayant la racine carrée après avoir ajouté de part et d’autre $b^{2}dy^{2},$ on aura l’équation du Problème

$ydx-xdy+bdy={\sqrt {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)-b^{2}dx^{2}}}.$

Nous avons déjà traité cette équation dans le n^o 6, et nous avons vu que