son intégrale complète est
![{\displaystyle y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334ec559ae152759931558cacccbed438c875eb3)
ce qui donne différentes lignes droites suivant la valeur de la constante arbitraire
nous avons vu ensuite que cette même équation est susceptible d’une intégrale particulière, laquelle est
![{\displaystyle {\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512fa9c20e15219386bf4d00631655c2550f5824)
et représente par conséquent une ellipse dans laquelle les abscisses sont prisses depuis l’un des foyers, et où
est l’excentricité etc le demi grand axe ; de sorte que cette ellipse est la même que celle dont nous avons parlé ci-dessus.
Article IV. — Des intégrales particulières des équations différentielles du second ordre et des ordres plus élevés.
27. Soit
![{\displaystyle \mathrm {Z} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6804e5818a3bcc616f012e38b7d8ee27cc0c5f)
une équation différentielle du second ordre,
étant une fonction de ![{\displaystyle x,y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad6024a5a4f15ab696de3d6e4866da50c8a315d)
et soit
![{\displaystyle \mathrm {V} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7579492b0afa73b150c28e120e2370c042adad)
l’intégrale finie et complète de cette équation :
sera, dans ce cas, une fonction de
et de deux constantes arbitraires
et
Or, puisque
et
sont arbitraires, on peut supposer, en général, que
soit une fonction quelconque de
alors
sera une fonction de
et
et, de ce que nous avons démontré dans l’Article II, il s’ensuit que l’équation
satisfera également à l’équation
en supposant
variable, pourvu que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dadx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52969631b3e27cd52ec856b4e726b1c113a4cad5)