par les équations de conditions que nous avons vu devoir avoir lieu entre les constantes
, (numéro cité), on aura plus simplement
![{\displaystyle \sin i\cos h=ag-bf,\quad \sin i\sin h=cg-ef,\quad \cos i=ae-bc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5399be8bc8510aa07170defb95a5e7847f39f297)
Maintenant on a, pour les deux observations,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'=&at'+bu',\qquad &x''=&at''+bu'',\\y'=&ct'+eu',\qquad &y''=&ct''+eu'',\\z'=&ft'+gu',\qquad &z''=&ft''+gu'',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e747bd1bfe75f00767b54c5928329a6989a5d9e)
et de là on tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x''z'-x'z''=&(ag-bf)(t''u'-t'u''),\\y''z'-y'z''=&(cg-ef)(t''u'-t'u''),\\x''y'-x'y''=&(ae-bc)(t''u'-t'u''),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e67008beddb3128ac7fe71d057b2d7e7062155)
en sorte qu’on aura
![{\displaystyle \sin i\cos h={\frac {x''z'-x'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \sin i\sin h={\frac {y''z'-y'z''}{t''u'-t'u''}},\ \ \cos i={\frac {x''y'-x'y''}{t''u'-t'u''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf255694ebe95d795cb8e8e7387c8a99f6afa66)
Or on a déjà vu (15) que
ainsi il ne restera qu’à trouver les valeurs de
qu’on aura par les formules du no 3 en connaissant
et
or ces quantités se tireront directement des formules du no 19.
De là il s’ensuit aussi qu’on aura
![{\displaystyle (t''u'-t'u'')^{2}=(x''z'-x'z'')^{2}+(y''z'-y'z'')^{2}+(x''y'-x'y'')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e231bbfd54966d64ed0aa03d947b6b92f628ac)
![{\displaystyle =\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)\left(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\right)-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09eb6ddd8fb451cce8a5c5c6930f73797e96290c)
donc
![{\displaystyle 4r'^{2}r''^{2}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\omega =r'^{2}r''^{2}-(x'x''+y'y''+z'z'')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93916567f0750ab4c9314dc4c8974b09db5c824d)
mais
![{\displaystyle 2\sin \omega \cos \omega =\sin 2\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b47787c7bc9b4a91dab6a3e58afebbed06444b)
donc
![{\displaystyle \cos 2\omega ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{r'r''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2d47bbead7510c666843f3d20d879bf897eac3)
par où l’on pourra connaitre l’angle
sans la résolution de l’équation en ![{\displaystyle \upsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988a5c1381a55d293d3550459d1be44b5052dd09)