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25. Nous terminerons ce Mémoire par la remarque suivante qui peut être utile dans quelques occasions. Soit une courbe quelconque $\mathrm {ABC}$ dans laquelle soient pris trois points quelconques $\mathrm {A,B,C} \,;$ et soient tirées les cordes $\mathrm {AB,BC,AC} ,$ et les rayons vecteurs $\mathrm {OA,OB,OC}$ partant d’un centre fixe $\mathrm {O}$ (fig. 2) ; qu’on désigne par $r',r'',r'''$ ces trois rayons,

arc de courbe, corde et longueur de la flêche

et par $\Delta ',\Delta '',\Delta '''$ les trois secteurs triangulaires $\mathrm {AOB,BOC,AOC} \,;$ il est visible que $\Delta '+\Delta ''$ sera égal au quadrilatère $\mathrm {ABCO} \,;$ d’où ôtant le triangle $\mathrm {AOC} =\Delta ''',$ on aura

$\Delta '+\Delta ''-\Delta '''$

pour le triangle $\mathrm {ABC}$ formé par les trois cordes. Or il est facile de prouver par la Géométrie élémentaire que le triangle $\mathrm {ABC}$ est au quadrilatère $\mathrm {ABCO}$ comme $\mathrm {BD}$ est à $\mathrm {BO} \,;$ de sorte qu’en nommant $f$ la flèche $\mathrm {BD} ,$ on aura

${\frac {f}{r''}}={\frac {\Delta '+\Delta ''-\Delta '''}{\Delta '+\Delta ''}}.$

Ainsi l’on aura l’expression générale de la flèche $f,$ dès qu’on connaîtra celles des triangle $\Delta ',\Delta '',\Delta '''.$

Or si l’on nomme $\varphi '$ l’angle $\mathrm {AOB} ,$ $\varphi ''$ l’angle $\mathrm {BOC} ,$ et par conséquent $\varphi '+\varphi ''$ l’angle $\mathrm {AOC} ,$ on a par la Géométrie

$\Delta '={\frac {r'r''\sin \varphi '}{2}},\quad \Delta ''={\frac {r''r'''\sin \varphi ''}{2}},\quad \Delta '''={\frac {r'r'''\sin(\varphi '+\varphi '')}{2}}\,;$

et si l’on aime mieux employer les coordonnées rectangles de la courbe