de sorte que la constante
demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l’arbitraire
.
On aura donc précisément le cas du no 12 en prenant
de sorte qu’en supposant de plus
on aura
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {\mathrm {H} +\mathrm {M} r+\mathrm {N} r^{2}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {\mathrm {M} x'+\mathrm {N} x'^{2}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {\mathrm {M} y'+\mathrm {N} y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4d323ed3ad1ae5fc1075f018ff5e5c65dbdf4c)
savoir (13)
![{\displaystyle {\frac {rdr}{\sqrt {-p+2r-{\cfrac {r^{2}}{\varpi }}}}}={\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}-{\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9352572d4a57b4da352078dc9906578ad897b67a)
où (11)
![{\displaystyle x'=x+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta +u}{2}},\quad y'=y+{\frac {\delta }{2}}={\frac {r+\delta -u}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79acdc110f8e09897f9976c060272caf2714ee83)
Or il est visible que
et
sont deux rayons vecteurs, et que
est alors la corde qui joint ces rayons ; donc, puisque
lorsque
auquel cas
il s’ensuit que la différence des intégrales de
![{\displaystyle {\frac {x'dx'}{\sqrt {2x'-{\cfrac {x'^{2}}{\varpi }}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'dy'}{\sqrt {2y'-{\cfrac {y'^{2}}{\varpi }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532f5db0e5035cd4e9b04854b43cb38e2b8f935e)
exprimera justement le temps employé à parcourir l’angle compris entre les deux rayons vecteurs
et
c’est-à-dire l’arc sous-tendu par la corde
ce qui est le Théorème de M. Lambert.