et regardant
et
comme très-petites, on ait une équation possible entre
et
Or, faisant ces substitutions et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta +\Delta '\nu }}+{\sqrt {\Delta +\Delta '\mu }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8af0df4793f8fcdf3475924d7b1ff770b59607c)
mais
donc l’équation devient
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)(\nu -\mu )={\sqrt {\Delta '}}\left({\sqrt {\nu }}+{\sqrt {\mu }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b03ca0fd85aa996d43f7235cc71f0ffe865f60)
laquelle, étant divisée par
donne
![{\displaystyle -\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \delta +{\frac {\mathrm {C} \delta ^{2}}{4}}\right)\left({\sqrt {\nu }}-{\sqrt {\mu }}\right)={\sqrt {\Delta '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dc53af550541fdaaa6caa985ffb2fd49ebc51e)
donc la quantité
doit être infiniment petite de l’ordre
donc
doit être ![{\displaystyle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3ba2435c5e5d048b9e80c09e38b694febf6f7d)
De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que
doit être une racine double de l’équation
ainsi que de l’équation
De sorte que les quantités
et
seront de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+mx+nx^{2}\right),\\\mathrm {Y} =&\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left(l+my+ny^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b2f4c8265e18aa278bad15e53b63ccb9d584ed)
ou, ce qui revient au même, de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(x-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right],\\\mathrm {Y} =&4\mathrm {C} ^{2}\left(y-{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\left[l+m\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)+n\left(y+{\frac {\delta }{2}}\right)^{2}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a0bd5805bfd3629bdb092ea791b6f50a2a1f67)
et comparant cette forme avec la forme générale des quantités
et
du no 10, on trouvera
![{\displaystyle n=\mathrm {N} ,\quad m=\mathrm {M} ,\quad l=c+\mathrm {N} {\frac {\delta }{2}}+\mathrm {M} {\frac {\delta ^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c7d5136a4cb5ec591be4f8a26401d40407db2d)