donc
![{\displaystyle n=n^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {h}{2}}\quad {\text{et}}\quad n=\cot ^{2}{\frac {h}{2}}={\frac {1+\cos h}{1-\cos h}}=\mathrm {\frac {GB}{GA}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac7991c6225f458a1db63468245bbb5e52a8451)
mais
donc le point
tombe en
ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu plus haut (37).
Or, par l’expression générale de
donnée dans ce numéro, il est aisé de voir que la valeur de
pour les lieux placés sur l’axe
à une distance quelconque
du point
sera
![{\displaystyle \mathrm {\frac {{\overline {GH}}^{2}+\beta ^{2}}{GH}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09240ab3149aeb311f3e6268d2233ad9717ce559)
d’où il s’ensuit que, quelque valeur que puisse avoir la quantité
jamais la seconde dimension
de ne pourra disparaître de la valeur de
à moins de supposer
ce qui serait absurde, puisqu’on aurait alors aussi
Donc elle ne disparaîtra pas non plus dans le cas du no 39, lorsque la valeur de
sera telle que
ce qui arrive en faisant
et par conséquent
ou
c’est-à-dire quand l’un ou l’autre pôle doit occuper le milieu de la Carte, auquel cas on aurait la projection stéréographique polaire ; c’est aussi de quoi l’on peut se convaincre par les formules mêmes des nos 38, 39.
En effet si l’on suppose, ce qui revient au même,
infiniment petit et égal à
on aura
![{\displaystyle c=1+{\frac {i^{2}}{2}},\quad \cos \varpi =1-{\frac {i^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55db8ddf9fdbe69da1de33f341037e4748164e94)
donc
![{\displaystyle n={\frac {i^{2}}{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \varpi }{1+\cos \varpi }}}={\frac {i}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7536fc11f1a9e61f5a9b2327807ee02868b8b94c)
donc
à cause de
on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {h}{2}}={\frac {1}{i}},\quad \cot {\frac {h}{2}}=i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804c1164cb6d96cb5c24227aadd96f6ff2e8343e)
Or
![{\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}=n,\quad \lambda +\mu =2\delta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba3acd5a7f25044866d65ee84d1a4fc8e8774b2)