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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
l’équation proposée étant divisée par
se réduira à cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dx+\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\+&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d0ddbcff17e0802bfff4364e193b06cb1054f0)
Ainsi le premier membre de cette équation devra être en particulier une différentielle complète relativement à
puisque le second en est une.
Qu’on retranche de part et d’autre la différentielle de
![{\displaystyle {\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad145a84b8ddd9d331b686cf6793864ee4eba201)
prise relativement à
laquelle est
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}+r{\frac {dr}{dx}}\right)dx&+\left(p{\frac {dp}{dy}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dr}{dy}}\right)dy\\&+\left(p{\frac {dp}{dz}}+q{\frac {dq}{dz}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz\ ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44cdf523abc45ede10cd632b27dccf38b595ef3)
on aura, en ordonnant les termes, cette transformée
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}&dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz\\&+\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)+\left({\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}\right)\left(rdx-pdz\right)\\&+\left({\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\right)\left(rdy-qdz\right)\\&=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57de510245339c71129ccfc5d461131ce9698931)
Donc le premier membre de cette équation devra être pareillement une différentielle exacte.
15. Il est visible que, si l’on suppose que la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
soit elle-même la différentielle exacte d’une fonction quelconque
composée de
et
on aura
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7caf9ea056d19821acc2d25c169c98bc40eb5)