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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
représenterons par
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdff0678a2b37c3ab9b9446b39e18f0c03f729bc)
et, intégrant de nouveau par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\lambda }}+\vartheta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb56a192f9e730ebf4ec4a8a954ca7dddd9d3f4)
en désignant par
une nouvelle fonction arbitraire de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse
![{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}=\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4d0d4a31e949184d519fafbf02be6e8a6d9be0)
on en tirera
![{\displaystyle \varphi ''={\frac {d\left(\mu {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f2da06a04f8a0c64ca1f84af4d855e33efff26)
où, en substituant la valeur de ![{\displaystyle {\frac {d\varphi '}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1040c142c5e38f8d95eba756634fda35f25b58)
![{\displaystyle \varphi ''=\theta {\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4956c023da7443af06ff357715a708c21d1804b4)
D’où l’on voit que, puisque
sont des quantités très-petites du premier ordre,
sera aussi très-petite du même ordre.
38. Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules du no 33, la vitesse verticale
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc9636f0e7e168a7abc2d673413320e57596788)
la vitesse horizontale
![{\displaystyle r=\varphi ''-z{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}=\theta \left({\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}-z{\dfrac {d{\cfrac {1}{\lambda }}}{dx}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab75d0ca5782e66689f76259c0a0c9a7a4f612e)
ou bien
![{\displaystyle r={\frac {\theta }{\lambda }}\left[{\frac {d\mu }{dx}}+\left(z-\mu \right){\frac {1}{\lambda }}{\frac {d\lambda }{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de3cb2b4c600a5a6ac935fa24c8f1b213c86add)