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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Ensuite, à cause de $\cos \zeta =0,$ la quantité $\Pi ''$ sera aussi très-petite du premier ordre. Par conséquent la valeur de la pression $\Pi$ se réduira à

$\Pi '=gx-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\lambda }}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ^{2}}}.$

Et cette quantité étant égalée à zéro donnera la figure de la surface du fuide. De sorte que, comme la même quantité ne renferme point l’ordonnée $z,$ mais seulement l’abscisse $x$ et le temps $t,$ il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et horizontale.

Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface se réduira pareillement à celle-ci (35)

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}=0,$

savoir

${\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda }}{\frac {d\Pi }{dx}}=0,$

laquelle ne contient pas non plus $z,$ mais seulement $x$ et $t.$

39. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à sa surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les autres par deux traits. Ainsi $x',$ $\lambda ',\ldots$ seront l’abscisse, la largeur du vase, etc., pour la surface supérieure, et $x'',$ $\lambda '',\ldots$ seront de même l’abscisse, la largeur du vase, etc., à la surface inférieure. De même $\Pi ',$ $\Pi ''$ dénoteront dans la suite les valeurs de $\Pi$ pour les deux surfaces ; de sorte qu’on aura pour la surface supérieure l’équation

$\Pi '=gx'-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0,$

et, pour la surface inférieure, l’équation semblable

$\Pi ''=gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0.$

Enfin

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0$