et de même
![{\displaystyle \delta x={\frac {dx}{d\varphi }}\delta \varphi +{\frac {dx}{d\psi }}\delta \psi +{\frac {dx}{d\omega }}\delta \omega +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee27eceb8dfb4b5b32b61e3c9670bed0d320adc3)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx^{2}=&\left({\frac {dx}{d\varphi }}\right)^{2}d\varphi ^{2}+2{\frac {dx}{d\varphi }}{\frac {dx}{d\psi }}d\varphi d\psi +\left({\frac {dx}{d\psi }}\right)^{2}d\psi ^{2}+\ldots ,\\dx\delta x=&\left({\frac {dx}{d\varphi }}\right)^{2}d\varphi \delta \varphi +{\frac {dx}{d\varphi }}{\frac {dx}{d\psi }}(d\varphi \delta \psi +d\psi \delta \varphi )+\left({\frac {dx}{d\psi }}\right)^{2}d\psi \delta \psi +\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40ddc64387ab394258cbfa87e441fe4c462fbb6)
et ainsi des autres quantités semblables ![{\displaystyle dy^{2},dy\delta y,dz^{2},dz\delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d76c7cedd216cf4304ce86fce39f51e488aeb5)
Ainsi la quantité
![{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7167230a8b2ca5e90866d319ebd8581d73ef83d8)
sera de la forme
![{\displaystyle \mathrm {L} d\varphi ^{2}+2\mathrm {M} d\varphi d\psi +\mathrm {N} d\psi ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d021a5f2eccb3da33ecab5760f281ce2e0d122)
étant des fonctions connues des variables finies
et de même la quantité
![{\displaystyle dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526c7defe07a5570dc431a2ac41330ccf2ac771b)
sera de la forme
![{\displaystyle \mathrm {L} d\varphi \delta \varphi +\mathrm {M} (d\varphi \delta \psi +d\psi \delta \varphi )+\mathrm {N} d\psi \delta \psi +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3987fe6ff5224b39adba18eb1fbd9bc1c64264c8)
Donc, en différentiant la première de ces quantités par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\delta &\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2}+\mathrm {L} d\varphi \delta d\varphi +\delta \mathrm {M} d\varphi d\psi +\mathrm {M} d\psi \delta d\varphi +\mathrm {M} d\varphi \delta d\psi +\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b77e889dc23ad762e5013ecc4ce5da397757d3)
et en différentiant la seconde par
on aura pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}d&\left(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z\right)\\&=d(\mathrm {L} d\varphi )\delta \varphi +\mathrm {L} d\varphi d\delta \varphi \\&\qquad \qquad +d(\mathrm {M} d\varphi )\delta \psi +\mathrm {M} d\varphi d\delta \varphi +d(\mathrm {M} d\psi )\delta \varphi +\mathrm {M} d\psi d\delta \varphi +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3a858fe2b88eb2c9b37a8f4004b3926cb4546c)
Retranchant donc la quantité précédente de cette dernière, en se souvenant que
est la même chose que
on aura la valeur de
![{\displaystyle d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c24746f9ac1d168fd0582a6588ccf843e8f088b)
laquelle sera exprimée ainsi
![{\displaystyle d(\mathrm {L} d\varphi )\delta \varphi -{\frac {\delta \mathrm {L} d\varphi ^{2}}{2}}+d(\mathrm {M} d\varphi )\delta \psi +d(\mathrm {M} d\psi )\delta \varphi -\delta \mathrm {M} d\varphi d\psi +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e53b2dc7a1841bcfb840d5e9adf11f911b5448)