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quantité dont la valeur, tant que les cosinus sont tous réels, ne peut jamais surpasser la somme de tous les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ pris avec le même signe.

De là il s’ensuit donc que, si pour les Planètes on trouve non-seulement que les racines $a,b,c,\ldots$ sont toutes réelles et inégales, mais encore que les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont fort petites, on sera assuré que leurs excentricités demeureront toujours fort petites ; autrement elles pourront devenir considérablement différentes de ce qu’elles sont actuellement.

On pourrait au reste trouver des limites plus étroites pour les valeurs de $\lambda$ en cherchant ses maximum et minimum par la différentiation ; mais il faudrait pour cela résoudre l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {AB} (a-b)\sin \left[(a-b)t+\alpha -\beta \right]+\mathrm {AC} (a-c)\sin \left[(a-c)t+\alpha -\gamma \right]&\\+\mathrm {BC} (b-c)\sin \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots &=0,\end{aligned}}$

ce qui n’est pas facile lorsqu’il y a plus d’un terme.

42. Ce que nous venons de dire relativement aux excentricités doit s’appliquer aussi aux inclinaisons. Car, en nommant $\theta$ la tangente de l’inclinaison et $\omega$ la longitude du nœud et faisant

$s=\theta \sin \omega ,\quad u=\theta \cos \omega ,$

nous avons trouvé, dans l’endroit cité, pour les valeurs de $s$ et $u,$ des expressions semblables à celles de $x,y,$ dans lesquelles les quantités $a,b,c,\ldots$, sont aussi les racines d’une équation d’un degré égal au nombre des orbites, mais différente de celle qui répond aux $x$ et $y,$ et où les constantes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ dépendent de la position des orbites à une époque donnée. Donc aussi les expressions de $\lambda$ et de $\theta$ seront semblables, ainsi que celles de $\varphi$ et $\omega .$

Par conséquent, si les racines $a,b,c,\ldots$, sontr toutes réelles et inégales, et que de plus les constantes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ se trouvent très-petites, on sera assuré pareillement que les inclinaisons des orbites des Planètes sur l’écliptique fixe seront toujours fort petites ; autrement elles pour-