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ront varier beaucoup, et l’on ne pourra rien connaître de certain à leur égard que pour un temps plus ou moins long.

43. À l’égard des aphélies et des nœuds, comme on a

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {x}{y}},\quad \operatorname {tang} \omega ={\frac {s}{u}},$

on en connaîtra la position par les tangentes de leurs longitudes, qui seront exprimées, en général, par la formule

${\frac {\mathrm {A} \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \sin(ct+\gamma )+\ldots }{\mathrm {A} \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \cos(ct+\gamma )+\ldots }}\,;$

mais il n’est pas facile de déduire, en général, de cette expression de la tangente, celle de l’arc correspondant, ni par conséquent de déterminer le mouvement moyen des aphélies et des nœuds.

Cette détermination n’est même possible par les méthodes connues que lorsqu’il n’y a que deux termes, et lorsque, le nombre des termes étant quelconque, il y a un des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ qui surpasse en grandeur la somme de tous les autres pris positivement.

44. Examinons d’abord le premier cas, et considérons pour cela l’équation

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\mathrm {A} \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \sin(bt+\beta )}{\mathrm {A} \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \cos(bt+\beta )}}.$

Si $\mathrm {A=B} ,$ cette équation devient

$\operatorname {tang} \varphi =\operatorname {tang} \left({\frac {a+b}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\,;$

donc

$\varphi ={\frac {a+b}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}.$

Et, si $\mathrm {A=-B} ,$ elle devient

$\operatorname {tang} \varphi =-\cot \left({\frac {a+b}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\,;$