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donc

$\varphi ={\frac {a+b}{2}}t+{\frac {\alpha +\beta }{2}}-90^{\circ }.$

Mais, si $\mathrm {A} >\pm \mathrm {B} ,$ alors en retranchant de l’angle $\varphi$ l’angle $at+\alpha$ qui répond au plus grand coefficient $\mathrm {A} ,$ je la réduis à cette forme

$\operatorname {tang} (\varphi -at-\alpha )={\frac {\mathrm {B} \sin \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}{\mathrm {A+B} \cos \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}}\,;$

de sorte que, si l’on prend un angle $\psi$ tel que

$\operatorname {tang} \psi ={\frac {\mathrm {B} \sin \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}{\mathrm {A+B} \cos \left[(b-a)t+\beta -\alpha \right]}},$

on aura

$\varphi -at-\alpha =\psi ,$

et par conséquent

$\varphi =at+\alpha +\psi .$

Or, puisque $\mathrm {B} <\pm \mathrm {A} ,$ il est clair que le dénominateur de l’expression de $\operatorname {tang} \psi$ ne peut jamais devenir nul ; donc $\operatorname {tang} \psi$ ne pourra jamais devenir infinie, et par conséquent $\psi$ ne pourra jamais atteindre à l’angle droit. Ainsi l’angle $\psi$ sera nécessairement resserré dans ces limites $+90^{\circ }$ et $-90^{\circ },$ entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes.

D’où il s’ensuit que $at+\alpha$ représentera le mouvement moyen de l’angle $\varphi ,$ et que $\psi$ exprimera les inégalités de cet angle.

Pour déterminer ces inégalités, il faudra résoudre l’équation précédente, ce qui ne se peut que par le moyen des séries ; et la meilleure méthode pour cela me paraît celle dont je me suis déjà servi dans plusieurs occasions semblables, et qui consiste à employer les exponentielles imaginaires.

Suivant cette méthode on aura

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {1+\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} \psi {\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {\mathrm {A+B} e^{\sigma {\sqrt {-1}}}}{\mathrm {A+B} e^{-\sigma {\sqrt {-1}}}}},$