On aura d’abord
![{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982599dfda877b73c549b9fd636f7012f9578158)
![{\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}+2\left(dx'd\xi +dy'd\eta +dz'd\zeta \right)+d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a60b4dc3c80a37a841a4c4a630c24ca132df7d)
multipliant par
et intégrant par rapport à la caractéristique
laquelle ne regarde que la variabilité des coordonnées
contenues dans les valeurs de
puisque ces coordonnées sont les seules quantités qui varient d’un point du corps à l’autre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt}}\mathbf {S} dm+{\frac {dx'\mathbf {S} d\xi dm+dy'\mathbf {S} d\eta dm+dz'\mathbf {S} d\zeta dm}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5586b235960a2a24abfd1ceaf34e80cd6b0e64b8)
![{\displaystyle +{\frac {\mathbf {S} (d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2})dm}{2dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f07a3ad9a37d2020591a2b65e6768bd225cc865)
et il ne restera plus qu’à substituer les valeurs de ![{\displaystyle d\xi ,d\eta ,d\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdfc1f3766a9a9dbfc23835128563191ba825dc)
Or,
étant égal à
on aura, en regardant
comme constantes dans la différentiation de
et ensuite comme seules variables dans l’intégration marquée par
on aura, dis-je,
![{\displaystyle \mathbf {S} d\xi dm=d\xi '\mathbf {S} adm+d\xi ''\mathbf {S} bdm+d\xi '''\mathbf {S} cdm,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2c1de162a0830684ba8b03993aa1b189cf6b6d)
et l’on aura de même les valeurs de
en changeant dans la précédente la lettre
en
ou ![{\displaystyle \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8843b83e5b60116bafbba232629752394ad08e56)
19. Mais je remarque que, si l’on suppose (ce qui est permis et même très-naturel) que le point que nous avons pris pour le centre du corps (14) en soit le véritable centre de gravité, les valeurs des intégrales
![{\displaystyle \mathbf {S} adm,\quad \mathbf {S} bdm,\quad \mathbf {S} cdm,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c409363458b06b44b38215866173da7324096a43)
qui expriment les sommes des moments de chaque particule
du corps par rapport à trois axes passant par son centre, seront nulles par les propriétés connues du centre de gravité. De sorte qu’on aura dans cette hypothèse
![{\displaystyle \mathbf {S} d\xi dm=0,\quad \mathbf {S} d\eta dm=0,\quad \mathbf {S} d\zeta dm=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ecf6b742719d0742cc259ea78899c8cc6c24bd)
ce qui simplifie beaucoup la valeur de
et la réduit à
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}\mathbf {S} dm+{\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9ddf9d21ea803cfb7890d5cac9ab4da220ca37)
Cette expression de
est, comme on voit, composée de deux parties,