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la première Partie de la Théorie des variations séculaires ; mais auparavant il est bon de faire à ces formules un changement qui servira à les rendre plus simples et plus exactes à quelques égards, sans influer d’ailleurs en rien sur les résultats trouvés pour les variations séculaires. Ce changement est relatif à la manière dont nous avons déterminé l’anomalie vraie par l’anomalie moyenne dans une ellipse dont les éléments sont variables ; voici en quoi il consiste.

Après être parvenus dans le n^o 30 de la Partie citée à l’équation différentielle

$dq+\beta \sin qdq+\gamma \cos qdq+\delta \sin 2qdq+\varepsilon \cos 2qdq+\ldots =dp,$

dans laquelle $p$ est l’angle du mouvement moyen, $q$ celui du mouvement vrai, et $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ des coefficients dépendant des éléments de l’ellipse, nous avons intégré le premier membre par approximation, et nous avons obtenu la formule

$q-(\beta )\cos q+(\gamma )\sin q-{\frac {1}{2}}(\delta )\cos 2q+{\frac {1}{2}}(\varepsilon )\sin 2q-\ldots =p,$

d’où nous avons ensuite déduit la valeur de $q$ en $p.$

J’ai reconnu depuis qu’au lieu de cette approximation il vaut mieux laisser le premier membre de l’intégrale sous la forme qu’il aurait si les éléments étaient constants, et appliquer à la valeur de $p,$ qui constitue le second membre, les corrections résultantes de la variabilité des mêmes éléments.

Ainsi, en faisant

$d\Sigma =-\cos qd\beta +\sin qd\gamma -{\frac {1}{2}}\cos 2q\,d\delta +{\frac {1}{2}}\sin 2q\,d\varepsilon -\ldots ,$

et ajoutant cette équation à l’équation différentielle ci-dessus, on aura, après l’intégration, cette formule

$q-\beta \cos q+\gamma \sin q-{\frac {1}{2}}\delta \cos 2q+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sin 2q-\ldots =p+\Sigma ,$

qu’on voit être de la même forme que la précédente, les coefficients $(\beta ),(\gamma ),$$(\delta ),\ldots$ étant changés en $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ et la variable $p$ en $p+\Sigma .$