Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/52

qui est la seconde partie de la valeur de $\mathrm {T} ,$ à une simple fonction de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ (21) ; ainsi, faisant les substitutions précédentes et négligeant toujours les mêmes dimensions, on aura pour la quantité dont il s’agit et que je désignerai par $\mathrm {T} ''$ la formule

${\begin{aligned}\mathrm {T} ''&={\frac {\mathrm {A} }{2}}\left(1+{\frac {2dr}{dt}}+{\frac {r^{2}}{t^{2}}}-4s^{2}-4u^{2}-{\frac {4sdu}{dt}}+{\frac {4uds}{dt}}\right)\\&+2\mathrm {B} \left(u-{\frac {ds}{dt}}\right)^{2}+2\mathrm {C} \left(s+{\frac {du}{dt}}\right)^{2}-2\mathrm {F} \left(u-{\frac {ds}{dt}}+{\frac {2udr}{dt}}-{\frac {drds}{dt^{2}}}\right)\\&-2\mathrm {G} \left(s+{\frac {du}{dt}}+{\frac {2sdr}{dt}}+{\frac {drdu}{dt^{2}}}\right)-4\mathrm {H} \left(u-{\frac {ds}{dt}}\right)\left(s+{\frac {du}{dt}}.\right)\\\end{aligned}}$

44. Réunissant donc les deux quantités $\mathrm {T} '$ et $\mathrm {T} '',$ on aura la valeur complète de la quantité $\mathrm {T} ,$ laquelle aura ainsi l’avantage d’être une fonction rationnelle et entière des six variables très-petites $x,y,z,r,s,u$ et de leurs différences premières, sans aucun mélange de sinus et cosinus d’angles.

45. Il faut chercher maintenant la valeur de la fonction $\mathrm {V}$ qui dépend uniquement des forces accélératrices qu’on suppose agir sur le corps.

Ces forces dans la question présente ne peuvent être que l’attraction de la Terre et celle du Soleil, lesquelles étant exprimées par ${\frac {f}{p^{2}}}$ et ${\frac {g}{q^{2}}}$ relativement à chaque particule $dm$ de la Lune, on aura (33)

$\mathrm {V} =-f\mathbf {S} {\frac {dm}{p}}-g\mathbf {S} {\frac {dm}{q}}.$

46. Considérons d’abord le terme $-f\mathbf {S} {\frac {dm}{p}}$ venant de l’attraction de la Terre, $p$ sera la distance rectiligne de la particule $dm$ de la Lune au centre de la Terre, par conséquent elle sera exprimée ainsi

$p={\sqrt {(x'+\xi )^{2}+(y'+\eta )^{2}+(z'+\zeta )^{2}}},$

car $x',y',z'$ étant les coordonnées rectangles du centre de la Lune par rapport au centre de la Terre, et $\xi ,\eta ,\zeta$ celles de la particule $dm$ de la Lune par rapport au centre de cette Planète, il est visible que $x'+\xi ,$