![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta '\ \ =&-\left[\left(1-2s^{2}\right)\cos r+2su\sin r\right]\sin t-\left[\left(1-2s^{2}\right)\sin r-2su\cos r\right]\cos t,\\\eta ''\ =&-\left[\left(1-2u^{2}\right)\cos r-2su\sin r\right]\cos t+\left[\left(1-2u^{2}\right)\sin r+2su\cos r\right]\sin t,\\\eta '''=&2(u\cos r+s\sin r)\cos t-2(u\sin r-s\cos r)\sin t\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086e597be0515107e996723b75595617cbde6e2e)
![{\displaystyle \zeta '=2s,\quad \zeta ''=2u,\quad \zeta '''=1-2s^{2}-2u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9f1466d43b7b5b81400aefe4daaac58e71b256)
42. Substituant maintenant
à la place de
et
à la place de
et négligeant toujours les produits de
au delà de deux dimensions, les expressions précédentes se changeront en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi '\ \ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2s^{2}\right)\cos t+(r-2su)\sin t,\\\xi ''\ =&\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2u^{2}\right)\sin t+(r+2su)\cos t,\\\xi '''=&-2(u+rs)\sin t+2(s-ru)\cos t\,;\\\eta '\ \ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2s^{2}\right)\sin t-(r-2su)\cos t,\\\eta ''\ =&-\left(1-{\frac {r^{2}}{2}}-2u^{2}\right)\cos t+(r+2su)\sin t,\\\eta '''=&2(u+rs)\cos t+2(s-ru)\sin t\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3893e4bfbd3e2eed7a05ee0371c014d44ced7b6)
![{\displaystyle \zeta '=2s,\quad \zeta ''=2u,\quad \zeta '''=1-2s^{2}-2u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9f1466d43b7b5b81400aefe4daaac58e71b256)
Si l’on fait les mêmes substitutions dans les expressions des quantités
du no 28, et qu’on y néglige aussi les troisièmes dimensions de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {R} =&\left(1+{\frac {dr}{dt}}-2s^{2}-2u^{2}\right)dt-2(sdu-uds),\\d\mathrm {Q} =&2\left(u-{\frac {ds}{dt}}+{\frac {udr}{dt}}\right)dt,\\d\mathrm {P} =&2\left(s+{\frac {du}{dt}}+{\frac {sdr}{dt}}\right)dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecefd3d9c74c2f321a596b610f149629fa17eb63)
43. Or nous avons déjà réduit la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {S} \left(d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}\right)dm}{2dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eab69e2f37ad9ab181277654809f0a2a0b53cdc)