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de $x.$ Donc aussi $\mathrm {N} '''^{\ldots }$ sera la valeur de $y$ qui répond à $x=\mathrm {M} '''^{\ldots }\,;$ par conséquent on aura

$\mathrm {N} '''^{\ldots }=\beta +\gamma \left(\mathrm {M} '''^{\ldots }-\alpha \right).$

Cette valeur de $\mathrm {N} '''^{\ldots }$ sera donc connue, et de là, en remontant par des opérations contraires, on trouvera tous les termes précédents de la série

$n,\ \ \mathrm {N,\ \ N',\ \ N'',\ldots ,\mathrm {N} '''^{\ldots }} \,;$

et l’on parviendra ainsi à la valeur cherchée $n$.

11. Si la série

$m,\ \ \mathrm {M,\ \ M',\ \ M''} ,\ldots$

ne tend pas vers l’égalité, et par conséquent ne converge pas vers la valeur de $\alpha ,$ il faudra alors la continuer en sens contraire, c’est-à-dire former la série

$m,\ \ m',\ \ m'',\ldots$

en faisant, comme dans le n^o 8 ci-dessus,

$\mathrm {X} =m,$

et de là

$x=m',$

ensuite

$\mathrm {X} =m',$

et de là

$x=m'',$

et ainsi de suite. La série

$m,\ \ m',\ \ m'',\ldots$

étant convergente vers $\alpha ,$ on la poussera jusqu’à un terme $m'''^{\ldots }$ peu différent de $\alpha ,$ et, faisant

$x=m'''^{\ldots }=\alpha +\xi ,$

on aura

$y=\beta +\gamma \xi =\beta +\gamma \left(m'''^{\ldots }-\alpha \right)\,;$

c’est le terme correspondant dans la série

$n,\ \ n',\ \ n'',\ldots ,n'''^{\ldots }$