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Faisant maintenant $\mathrm {X} =x\,;$ on a

$x=x^{2},\quad {\text{donc}}\quad x=1=\alpha \,;$

et, faisant $\mathrm {Y} =y,$ on a (3)

$y=2y,\quad {\text{donc}}\quad y=0=\beta .$

15. À l’égard des valeurs de $x$ et $y$ qu’on doit supposer connues et que nous avons désignées par $a$ et $b$ (6), elles dépendent du système de logarithmes qu’on veut adopter. Dans celui de Briggs, qui est le système reçu généralement, on fait $\log 10=1$ donc $x=10$ donne $y=1\,;$ par

$a=10,\quad b=1.$

Ainsi la série

$a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots$

deviendra

$10,\ \ 10^{2},\ \ 10^{4},\ \ 10^{8},\ldots ,$

et la série correspondante

$b,\ \ \mathrm {B,\ \ B',\ \ B''} ,\ldots$

sera

$1,\ \ 2,\ \ 4,\ \ 8\ldots .$

Et réciproquement la série

$a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots$

sera

$10,\ \ {\sqrt {10}},\ \ {\sqrt[{4}]{10}},\ \ {\sqrt[{8}]{10}},\ldots ,$

et la correspondante

$b,\ \ b',\ \ b'',\ \ b''',\ldots$

sera

$1,\ \ {\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots .$

On voit ici que la série

$a,\ \ \mathrm {A,\ \ A',\ \ A''} ,\ldots$