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est divergente, mais qu’au contraire la série

$a,\ \ a',\ \ a'',\ \ a''',\ldots$

est convergente et approche de plus en plus de la valeur de $\alpha =1.$ Ainsi il faudra employer cette dernière série pour trouver la valeur de $\gamma$ (8).

16. On extraira donc la racine carrée de $10,$ ensuite la racine carrée de cette racine, et puis la racine carrée de celle-ci, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à une racine très-peu différente de l’unité. On formera ensuite les termes correspondants de la série

${\frac {1}{2}},\ \ {\frac {1}{4}},\ \ {\frac {1}{8}},\ldots$

par une continuelle bissection de l’unité. On poussera ces séries jusqu’aux termes $a'''^{\ldots }$ et $b'''^{\ldots }$ tels que $a'''^{\ldots }-1$ et $b'''^{\ldots }-1$ soient des fractions assez petites pour que leurs carrés soient comme nuls. Ainsi, en employant le calcul décimal, si l’on a fixé le nombre des décimales auquel on veut porter la précision, il faudra que les quantités dont il s’agit se trouvent exprimées par des nombres qui aient avant les chiffres ou notes significatives autant de zéros qu’il y aura de ces chiffres, afin que les carrés de ces nombres tombent hors des limites, fixées.

Briggs, ayant employé $32$ décimales, a poussé le nombre des extractions successives jusqu’à $54,$ et il a eu pour dernière racine le nombre

$1{,}00000\ 00000\ 00000\ 12781\ 91493\ 20032\ 35,$

c’est le terme $a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de notre série $a',a'',a''',\ldots .$

Il a trouvé ensuite par $54$ bissections continuelles de l’unité le nombre

$0{,}00000\ 00000\ 00000\ 05551\ 11512\ 31257\ 827,$

qui est par conséquent le terme $b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}$ de la série $b',b'',b''',\ldots .$

Ainsi, puisque

$\alpha =1,\quad \beta =0,$

on aura

$\gamma ={\frac {b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}{a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}},$