lorsque
est un très-grand nombre. Donc, si l’on fait
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\lambda }}}=i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a3969f0709edc4b7a396ad1686b05ab28b409a)
en sorte que
soit une fraction fort petite, on aura
![{\displaystyle \log m={\frac {\gamma \left(m^{i}-1\right)}{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b8de20fd63e09ff3b5a1e25f1dd11200eb3016)
Soit
![{\displaystyle m=1+z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5cfea7534e34d9f0b6939a889f5cd2198a71fb)
on aura par le Théorème cité
![{\displaystyle m^{i}=1+iz+{\frac {i(i-1)}{2}}z^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}z^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a25d52cd5ac98a8f4aed5493af17833175ce65)
et lorsque
est un nombre très-petit, on a, en rejetant les termes affectés de ![{\displaystyle i^{2},i^{3},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4eb5080adfe7d5640028b8475e0acdeb7fe2fb3)
![{\displaystyle m^{i}=1+i\left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b5c840e25451181a6b9b5b2406c18f5786f7b9)
donc
![{\displaystyle \log(1+z)=\gamma \left(z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e07093c1f6af7e77e1149115d8b9de8b251bc7)
et si l’on fait
on a
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp} (1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1d6d22ee61ea11124772def7482d3128954404)
comme on le trouve par le Calcul intégral.
21. Réciproquement donc, puisque
![{\displaystyle \log m={\frac {\gamma (m^{i}-1)}{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d694d63cbba542af5e249c24e616db627109c92)
on aura
![{\displaystyle m^{i}=1+{\frac {i\log m}{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cfe95d5aba7d13a09791a230a1c2aae2d5ce4b)
et de là
![{\displaystyle m=\left(1+{\frac {i\log m}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44357a3626c1d6e3148bca2dd4c57bbecf199b4c)