le logarithme
d’un nombre
très-peu différent de l’unité, sera simplement
(17), c’est-à-dire qu’on aura
![{\displaystyle \log(1+\xi )=\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc4493e86293c7f4ef3cc6f4f1acc2b983383f8)
lorsque
est une quantité infiniment petite. C’est la propriété connue des logarithmes hyperboliques. Et de là on voit en même temps comment ces sortes de logarithmes, qu’on appelle aussi naturels, ont pu se présenter les premiers à leur inventeur Neper, quoique d’ailleurs notre système décimal paraisse indiquer naturellement les logarithmes tabulaires ou de Briggs, dans lesquels l’unité est le logarithme de ![{\displaystyle 10.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6314920d56a18621f0fbc1d56526be049949f2b)
Ainsi, dans les formules du no 16,
sera le logarithme hyperbolique de
et si l’on nomme
le logarithme hyperbolique de
ou de
le terme
de la série
![{\displaystyle h,h',h'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c947ef411bda6c39925a67da34abd4db337bc9)
des logarithmes correspondants aux nombres
![{\displaystyle a,a',a'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba77ef142962c5c5d6a23d787bc4ac369f4ae4a)
sera évidemment
puisque ces termes procèdent par une bissection continuelle. On aura donc
![{\displaystyle b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}h=a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54233305c7c72914300daa628d6287313b3ff5a6)
et de là
![{\displaystyle h={\frac {a^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}-1}{b^{\scriptscriptstyle {\text{LIV}}}}}={\frac {1}{\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c261ab75a815cc886259873e09f7b448df9d8b90)
de sorte que le nombre réciproque du nombre
du système tabulaire sera le logarithme hyperbolique de
et l’on aura par ce moyen
![{\displaystyle \operatorname {log\,hyp} 10=2{,}30258\ 50929\ 94045.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afc661ff8f62c731f45c5a4ff4396eb0ea0f774)
20. Au reste cette méthode de trouver les logarithmes peut être facilement traduite en formule au moyen du Théorème de Newton pour la formation des puissances des binômes. Car, suivant le no 17, on a
![{\displaystyle n=\log m=2^{\lambda }\times \gamma ({\sqrt[{2\lambda }]{m}}-1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ffcf739182fded34b276fd968094a83fc8df20)