L’équation en
devient
![{\displaystyle \mathrm {M} r^{2}-2\mathrm {N} r+\mathrm {P} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2705e4953341e5ddd03d53c2aa7198952d96ae5d)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\sin ^{2}p\cos ^{2}q}{a^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}p\sin ^{2}q}{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}p}{c^{2}}},\\\mathrm {N} =&{\frac {f\sin p\cos q}{a^{2}}}+{\frac {g\sin p\sin q}{b^{2}}}+{\frac {h\cos p}{c^{2}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {f^{2}}{a^{2}}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}}}-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b9e99c0d560dfb3441d001bdae8cc1959dbf5c)
Les deux racines
et
sont donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {N\pm {\sqrt {N^{2}-MP}}}{M}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83353f19ff844fe968926493623348c558ef18ce)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle r'^{2}-r''^{2}=\mathrm {\frac {4N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b073660c0d9520240ce7f007a34bf3c054476b3)
par conséquent la valeur de
sera
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {\frac {2N{\sqrt {N^{2}-MP}}}{M^{2}}} \sin pdpdq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df398d4789d6df0bf9c0f1f47810c452a04f085c)
Ce qui rend les intégrations qui restent à faire très-difficiles, c’est le radical mais ce radical disparaîtrait si
Or on peut prendre
dans la valeur de
en déterminant convenablement l’arbitraire
.
12. Supposons donc que dans les expressions de
on mette partout
à la place de
et que ces expressions deviennent alors
on aura de même (10)
![{\displaystyle d\mathrm {V} '=\mathrm {\frac {2N'{\sqrt {N'^{2}-M'P'}}}{M'^{2}}} \sin pdpdq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0a6d8e4e297d8d70b9331ca296b5f32b1addb8)
Donc, si l’on prend
en sorte que
c’est-à-dire que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{a^{2}+e}}+{\frac {g^{2}}{b^{2}+e}}+{\frac {h^{2}}{c^{2}+e}}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf65586d3e6470f57d373b746cb43b0173a7790)