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Or, si $\mathrm {R} '$ est la valeur de $\mathrm {R}$ à la surface, on aura pour $a',b',c'$ les mêmes expressions que pour $a,b,c,$ en y changeant seulement $\mathrm {R}$ en $\mathrm {R} '\,;$ donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on en tirera

$\mathrm {R} '={\frac {1}{\sqrt {{\cfrac {\sin ^{2}\mathrm {P} }{h^{2}}}+{\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {P} \sin ^{2}\mathrm {Q} }{g^{2}}}+{\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {P} \cos ^{2}\mathrm {Q} }{f^{2}}}}}}.$

Telle est la valeur de $\mathrm {R} '$ qu’il faudrait substituer dans les formules précédentes, pour pouvoir procéder ensuite aux intégrations relatives à $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} \,;$ mais les intégrations générales étant sujettes à trop de difficultés, nous nous contenterons d’examiner le cas où le sphéroïde est à très-peu près sphérique, en sorte que les différences entre les trois demi-axes $h,g,f$ soient très-petites ; ce qui paraît être le cas de la Lune.

63. Nous ferons donc

${\frac {f}{h}}=1+e,\quad {\frac {g}{h}}=1+i,$

$e$ et $i$ étant deux constantes très-petites, qui expriment les ellipticités du premier méridien de la Lune et de celui qui le coupe à angles droits, et dont nous négligerons les produits et les puissances qui passent la première dimension.

Substituant donc ces valeurs dans l’expression précédente de $\mathrm {R} ',$ on aura à très-peu près

$\mathrm {R} '=h\left(1+e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right)\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {R} '^{3}=&h^{3}\left(1+3e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +3i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right),\\\mathrm {R} '^{5}=&h^{5}\left(1+5e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +5i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right)\,;\end{aligned}}$

et faisant ces dernières substitutions dans les expressions des quantités $m,\mathrm {A,B,C} ,$ on trouvera après les intégrations, qui n’ont aucune diffi-