Or, si
est la valeur de
à la surface, on aura pour
les mêmes expressions que pour
en y changeant seulement
en
donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on en tirera
![{\displaystyle \mathrm {R} '={\frac {1}{\sqrt {{\cfrac {\sin ^{2}\mathrm {P} }{h^{2}}}+{\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {P} \sin ^{2}\mathrm {Q} }{g^{2}}}+{\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {P} \cos ^{2}\mathrm {Q} }{f^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13650e851c32e8f551a3b328aaccfb6f1c393648)
Telle est la valeur de
qu’il faudrait substituer dans les formules précédentes, pour pouvoir procéder ensuite aux intégrations relatives à
et
mais les intégrations générales étant sujettes à trop de difficultés, nous nous contenterons d’examiner le cas où le sphéroïde est à très-peu près sphérique, en sorte que les différences entre les trois demi-axes
soient très-petites ; ce qui paraît être le cas de la Lune.
63. Nous ferons donc
![{\displaystyle {\frac {f}{h}}=1+e,\quad {\frac {g}{h}}=1+i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b465a7c6c6aec100597302cd8987d5967360a2a)
et
étant deux constantes très-petites, qui expriment les ellipticités du premier méridien de la Lune et de celui qui le coupe à angles droits, et dont nous négligerons les produits et les puissances qui passent la première dimension.
Substituant donc ces valeurs dans l’expression précédente de
on aura à très-peu près
![{\displaystyle \mathrm {R} '=h\left(1+e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d63cb912e2e5cd1576313b07301edcb4ac1585)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} '^{3}=&h^{3}\left(1+3e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +3i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right),\\\mathrm {R} '^{5}=&h^{5}\left(1+5e\mathrm {\cos ^{2}P\cos ^{2}Q} +5i\mathrm {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q} \right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952aa25fddc665c2d7d7619e40bc6d0675ed35e5)
et faisant ces dernières substitutions dans les expressions des quantités
on trouvera après les intégrations, qui n’ont aucune diffi-