mon Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes elliptiques, année 1773[1], que l’attraction d’un sphéroïde représenté par l’équation
![{\displaystyle z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890ab091b04029dca2a6fb21467eba784448b1f8)
sur un point quelconque pris dans l’intérieur de ce sphéroïde et déterminé par les coordonnées
parallèles à
se réduit à trois forces dirigées suivant
et exprimées par
les quantités
étant des fonctions de
et
telles qu’en faisant
![{\displaystyle \mu ^{2}={\frac {1-m}{m}},\quad \nu =n-m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2587a37ca7e10982b6227004a80bcf35d718d07)
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2}}},\quad \mathrm {Q} '={\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9434c35e49e7611efa2ffd8544ee034dbfe4bb60)
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +\ {\frac {\nu }{8}}\ {\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+\ {\frac {2\nu ^{2}}{32}}\ {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\\mathrm {F} =&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +{\frac {3\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+{\frac {10\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\\mathrm {G} =&\left(\mathrm {Q} '+{\frac {\nu }{2}}{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}+{\frac {3\nu ^{2}}{8}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}+\ldots \right)180^{\circ }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663dd12b3687496c44386ef4da53dc8631544d30)
Or l’équation du sphéroïde du numéro précédent étant
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{f^{2}}}+{\frac {y^{2}}{g^{2}}}+{\frac {z^{2}}{h^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f197f598f9170300e3adef5a2b34d0bce974b1)
(en changeant
en
), on aura par la comparaison de cette équation avec la précédente
![{\displaystyle m={\frac {h^{2}}{f^{2}}},\quad n={\frac {h^{2}}{g^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab9d375fbb58e1cc1db4b8d14461980af6f890c)
et, mettant pour
leurs valeurs
(63),
et
étantdes quantités très-petites, on aura
![{\displaystyle m=1-2e,\quad n=1-2i\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f0f6e244376cebeacc6197180be18f235bdeca)
donc
![{\displaystyle \mu ^{2}=2e,\quad \nu =2(e-i)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823c74b37324faefbd8f1be04110619bc918d074)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. III, p. 640.