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Du mouvement des points équinoxiaux de la Lune, et de l’inclinaison
de l’équateur lunaire sur l’écliptique.

83. La détermination de ces deux points de la Théorie de la Lune dépend de l’intégration des deux dernières équations du n^o 74, savoir

${\begin{aligned}&\mathrm {B} {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+(\mathrm {A-B-C} ){\frac {du}{dt}}+(\mathrm {A-C} )\left(4s+{\frac {3}{2}}z-6xz\right)=0,\\&\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-(\mathrm {A-B-C} ){\frac {ds}{dt}}+(\mathrm {A-B} )\left(u+{\frac {3}{2}}yz\right)=0.\end{aligned}}$

Commençons par faire abstraction des termes tout connus qui contiennent les variables $x,y,z,$ et ne considérons d’abord que les deux équations

${\begin{aligned}&\mathrm {B} {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+(\mathrm {A-B-C} ){\frac {du}{dt}}+4(\mathrm {A-C} )s=0,\\&\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-(\mathrm {A-B-C} ){\frac {ds}{dt}}+(\mathrm {A-B} )u=0\,;\end{aligned}}$

il est visible par la forme de ces équations qu’on y peut satisfaire en supposant

$s=\mathrm {M} \sin \mu ,\quad u=\mathrm {M} '\cos \mu ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ étant des constantes indéterminées, et $\mu$ un angle tel, que ${\frac {d\mu }{dt}}$ soit aussi une quantité constante.

Faisant ces substitutions, et divisant la première équation par $\sin \mu ,$ la seconde par $\cos \mu ,$ on aura ces deux-ci

${\begin{aligned}&-\mathrm {BM} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}-(\mathrm {A-B-C} )\mathrm {M} '{\frac {d\mu }{dt}}+4\mathrm {(A-C)M} =0,\\&-\mathrm {CM'} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}-(\mathrm {A-B-C} )\mathrm {M} {\frac {d\mu }{dt}}+\mathrm {(A-B)M'} =0.\end{aligned}}$

La seconde donne

$\mathrm {M} '={\frac {\mathrm {M(A-B-C)} {\cfrac {d\mu }{dt}}}{\mathrm {A-B-C} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}}}\,;$