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cette valeur étant substituée dans la première, la quantité $\mathrm {M}$ s’en ira par la division, et l’on aura cette équation

$\left[4\mathrm {(A-C)-B} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}\right]\left[\mathrm {A-B-C} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {(A-B-C)^{2}} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}=0,$

laquelle servira à déterminer la constante ${\frac {d\mu }{dt}},$ l’autre constante $\mathrm {M}$ demeurant indéterminée et par conséquent arbitraire.

Si l’on fait pour plus de simplicité

$\left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}=\rho ,$

on aura, en ordonnant les termes, cette équation du second degré

$\mathrm {BC\rho ^{2}-\left[(A-B-C)^{2}+(A-B)B+4(A-C)C\right]\rho +4(A-B)(A-C)} =0,$

laquelle aura par conséquent deux racines que nous dénoterons par $\rho '$ et $\rho ''.$

De là et de la Théorie connue des équations linéaires, il s’ensuit que si l’on prend deux angles $\mu$ et $\nu ,$ tels que

${\frac {d\mu }{dt}}={\sqrt {\rho '}},\quad {\frac {d\nu }{dt}}={\sqrt {\rho ''}},$

avec deux constantes arbitraires $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ on aura

${\begin{aligned}s=&\mathrm {M} \ \,\sin \mu +\mathrm {N} \ \sin \nu ,\\u=&\mathrm {M} '\cos \mu +\mathrm {N} '\cos \nu ,\end{aligned}}$

en supposant

$\mathrm {M} '={\frac {\mathrm {(A-B-C)} {\cfrac {d\mu }{dt}}}{\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\mu }{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {M} ,\quad \mathrm {N} '={\frac {\mathrm {(A-B-C)} {\cfrac {d\nu }{dt}}}{\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\nu }{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {N} \,;$

et il est visible que ces valeurs de $s$ et $u$ sont complètes, puisqu’elles renferment quatre constantes arbitraires, dont deux sont $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et dont les deux autres sont renfermées dans les angles $\mu$ et $\nu .$