cette valeur étant substituée dans la première, la quantité
s’en ira par la division, et l’on aura cette équation
![{\displaystyle \left[4\mathrm {(A-C)-B} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}\right]\left[\mathrm {A-B-C} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {(A-B-C)^{2}} \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aaf3ddde658ab6c29cd573d1be7f72a5f588690)
laquelle servira à déterminer la constante
l’autre constante
demeurant indéterminée et par conséquent arbitraire.
Si l’on fait pour plus de simplicité
![{\displaystyle \left({\frac {d\mu }{dt}}\right)^{2}=\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693df4dad0a26bd67725d3e973c6abdfc3f2c8b8)
on aura, en ordonnant les termes, cette équation du second degré
![{\displaystyle \mathrm {BC\rho ^{2}-\left[(A-B-C)^{2}+(A-B)B+4(A-C)C\right]\rho +4(A-B)(A-C)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505d824c67d11cc40406bd30ac1ce7cf8056f9bf)
laquelle aura par conséquent deux racines que nous dénoterons par
et ![{\displaystyle \rho ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956765cb7f8fe6b4d463a93cfd03026266c7acfa)
De là et de la Théorie connue des équations linéaires, il s’ensuit que si l’on prend deux angles
et
tels que
![{\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\sqrt {\rho '}},\quad {\frac {d\nu }{dt}}={\sqrt {\rho ''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277d18554840f29a3113e58c7f28110aa7ce2576)
avec deux constantes arbitraires
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}s=&\mathrm {M} \ \,\sin \mu +\mathrm {N} \ \sin \nu ,\\u=&\mathrm {M} '\cos \mu +\mathrm {N} '\cos \nu ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a31e14ef50f2d1075ec38c6687aa38dd1e3b034)
en supposant
![{\displaystyle \mathrm {M} '={\frac {\mathrm {(A-B-C)} {\cfrac {d\mu }{dt}}}{\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\mu }{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {M} ,\quad \mathrm {N} '={\frac {\mathrm {(A-B-C)} {\cfrac {d\nu }{dt}}}{\mathrm {A-B-C} \left({\cfrac {d\nu }{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c2cb6b4f17292d9a9123053344a8ee1287d3e8)
et il est visible que ces valeurs de
et
sont complètes, puisqu’elles renferment quatre constantes arbitraires, dont deux sont
et
et dont les deux autres sont renfermées dans les angles
et ![{\displaystyle \nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bafc5c30bf9727eb4c005ff0c0632d555b3b7d)