Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/112

XXXIII.

Et le mouvement du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ sera déterminé par les équations suivantes (Article VIII)

1^o$\quad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\left(3\mu _{1}^{2}-2f_{1}\right)x_{1}+f_{1}\mathrm {X} _{1}-2\mu _{1}f_{1}\mathrm {Y} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}$

$-{\frac {3}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}+6n\mu _{1}f_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}=0,$

2^o$\quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {Y} _{1}-3n\mu _{1}x_{1}^{2}+2nf_{1}x_{1}\mathrm {Y} _{1}=0,$

3^o$\quad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mu _{1}^{2}z_{1}+f_{1}\mathrm {Z} _{1}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+{\frac {dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}+2n\mu _{1}f_{1}z_{1}\mathrm {Y} _{1}=0.$

On se souviendra que les quantités $x_{1}$ et ${\frac {dy_{1}}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l’Article IV.

XXXIV.

Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de $n,$ et l’on cherchera par l’intégration les valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}\,;$ on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu’on avait négligés, et l’on en tirera de nouvelles valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}$ plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes affectés de $n^{2},n^{3},\ldots .$ Par ce moyen, l’intégration de la première et de la troisième équation de l’Article précédent se réduira à celle d’une équation de cette forme

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ^{2}u+\mathrm {T} =0,$

$\mathrm {T}$ étant une fonction composée de sinus et de cosinus d’angles multiples de $t\,;$ or l’intégrale de cette équation est, comme l’on sait,

$u=\mathrm {G} \sin \mathrm {M} t+\mathrm {H} \cos \mathrm {M} t+{\frac {\cos \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \sin \mathrm {M} tdt-\sin \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \cos \mathrm {M} tdt}{\mathrm {M} }}\,;$