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de sorte qu’en supposant

$\mathrm {T} =\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos pt+b\sin pt+\mathrm {C} \cos qt+c\sin qt+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}u=-\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} &+\left(\mathrm {H} +\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} \ -{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ {\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ldots \right)\cos \mathrm {M} t\\&+\left(\mathrm {G} -{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-{\frac {qc}{\mathrm {M} \left(q^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-\ldots \right)\sin \mathrm {M} t\\&+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt\\&+{\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos qt\,+{\frac {c}{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin qt+\ldots \,;\end{aligned}}$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {G}$ sont les valeurs de $u$ et de ${\frac {du}{\mathrm {M} dt}}$ lorsque $t=0.$

On voit de là que, pour avoir la valeur de $u,$ il n’y a qu’à diviser chacun des sinus et des cosinus qui entrent dans $\mathrm {T}$ par $p^{2}-\mathrm {M} ^{2},$ $p$ étant le coefficient de $t,$ et y ajouter encore deux autres termes, qui renferment $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} t$ avec des coefficients arbitraires.

Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas où $p$ serait égal à $\mathrm {M} \,;$ car alors le diviseur $p^{2}-\mathrm {M} ^{2}$ sera nul, et les termes

$-{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos \mathrm {M} t+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt,$

aussi bien que les termes

$-{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}\sin \mathrm {M} t+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt$

deviendraient $-\infty ,+\infty \,:$ ce qui ne fait rien connaitre.

Pour résoudre cette difficulté, on supposera que $p$ ne soit pas tout à fait égale à $\mathrm {M} ,$ mais qu’elle en diffère d’une quantité infiniment petite ;