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dans la direction même dea espaces $ds,ds',ds'',\ldots ,$ soit en équilibre avec les forces

$m\mathrm {P} ,m\mathrm {Q} ,m\mathrm {R} ,\ldots ,\quad m'\mathrm {P} ',m'\mathrm {Q} ',m'\mathrm {R} ',\ldots \quad m''\mathrm {P} '',m''\mathrm {Q} '',m''\mathrm {R} '',\ldots ,\ldots .$

Or, si l’on considère le système pendant que les corps changent infiniment peu de position en parcourant les espaces $ds,ds',ds'',\ldots ,$ il est clair que

$dp,dq,dr,\ldots \quad dp',dq',dr',\ldots \quad dp'',dq'',dr'',\ldots ,\ldots$

exprimeront les espaces parcourus par chacun des corps, dans des directions contraires à celles des forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$$\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots ,\ldots \,;$ on aura donc, par le principe de l’équilibre dont nous parlons,

$\left.{\begin{aligned}&-{\frac {m\ \ dv\ \,}{dt}}ds\ \ +m\ \ \mathrm {P} \ \ (-dp\ \ )+m\ \ \mathrm {Q} \,\ (-dq\ \ )+m\ \ \mathrm {R} \ \ (-dr\ \ )+\ldots \\&-{\frac {m'\ dv'\,}{dt}}ds'\ +m'\,\mathrm {P} '\,(-dp'\,)+m'\ \mathrm {Q} '\,(-dq'\,)+m'\ \mathrm {R} '\,(-dr'\ )+\ldots \\&-{\frac {m''dv''}{dt}}ds''+m''\mathrm {P} ''(-dp'')+m''\mathrm {Q} ''(-dq'')+m''\mathrm {R} ''(-dr'')+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right\}=0.$

Mettant, au lieu de $dt,$ ses valeurs ${\frac {ds}{v}},{\frac {ds'}{v'}},{\frac {ds''}{v''}},\ldots$ et intégrant, on aura

${\begin{aligned}mv^{2}+m'v'^{2}+m''v''^{2}+\ldots =&m\mathrm {V} ^{2}+m'\mathrm {V} '^{2}+m''\mathrm {V} ''^{2}+\ldots \\&-2m\ \ \int \left(\mathrm {P} \ \ dp\ \ +\mathrm {Q} \ \,dq\,\ +\mathrm {R} \ \ dr\ \ +\ldots \right)\\&-2m'\ \int \left(\mathrm {P} '\ dp'\,+\mathrm {Q} '\,dq'+\mathrm {R} '\,dr'\ +\ldots \right)\\&-2m''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {V,V',V''} ,\ldots$ étant les valeurs primitives de $v,v',v'',\ldots \,;$ et cette équation renferme, comme on le voit, la conservation des forces vives prise dans toute son étendue.