qui est du second ordre, à cause que
est déjà de l’ordre de
(Article LXXVIII),
![{\displaystyle \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1+n\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+n\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+n\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121a57f92c0219a1d8f358dfacfc1d3a2b7207d8)
donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \varpi _{1}=\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148749860d875c6d3163bbaa2114e1071ab0d16)
de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi _{2}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{2},\\\varpi _{3}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{2})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{3},\\\varpi _{4}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{3})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bba3e13f2f59895fb5fb74db712f7c335528c5)
On aura pour tous les quatre satellites
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1+n\pi _{1}),\qquad &\mathrm {N} _{1}=&\mu _{1}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{1}\right),\\\mathrm {N} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1+n\pi _{2}),&\mathrm {N} _{2}=&\mu _{2}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{2}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bce300dd40e92d6b774745b133a735c4314082)
Pour tirer de là le mouvement des nœuds, on remarquera que
exprime, en général, la longitude moyenne du nœud ascendant (Article XLI) ; d’où il suit que le mouvement de la ligne des nœuds sera au mouvement moyen comme
à
c’est-à-dire, comme
à
par conséquent les nœuds reculeront à chaque révolution de
LXXXV.
Or, on trouvé par l’Article XXXII en faisant successivement ![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d504d1bb86c9e61c23f5f9abb659cab9e7b37fb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1d63244ca8acd120392de2855cff74081ac37e)