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qui est du second ordre, à cause que $\mathrm {H} ,$ est déjà de l’ordre de $n$ (Article LXXVIII),

$\mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1+n\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+n\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+n\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}\right]\,;$

donc si l’on fait, pour abréger,

$\varpi _{1}=\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1},$

de même

${\begin{aligned}\varpi _{2}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{2},\\\varpi _{3}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{2})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{3},\\\varpi _{4}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{3})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{4}.\end{aligned}}$

On aura pour tous les quatre satellites

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1+n\pi _{1}),\qquad &\mathrm {N} _{1}=&\mu _{1}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{1}\right),\\\mathrm {N} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1+n\pi _{2}),&\mathrm {N} _{2}=&\mu _{2}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{2}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Pour tirer de là le mouvement des nœuds, on remarquera que $(\mu -\mathrm {N} )t-\eta$ exprime, en général, la longitude moyenne du nœud ascendant (Article XLI) ; d’où il suit que le mouvement de la ligne des nœuds sera au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {N}$ à $\mu ,$ c’est-à-dire, comme $-{\frac {n\pi }{2}}$ à $1\,;$ par conséquent les nœuds reculeront à chaque révolution de ${\frac {1}{2}}n\pi \times 360^{\circ }.$

LXXXV.

Or, on trouvé par l’Article XXXII en faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},$$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots ,$

${\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$