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VIII.

Remarque. Il y a plusieurs moyens d’abréger le calcul de la valeur de

$d^{2}\mathrm {X\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\delta Z} \,;$

en voici un qui quoique indirect est néanmoins préférable par sa simplicité et sa généralité. On commencera par chercher la valeur de

$d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}\,;$

et pour ce j’observerai, dans la supposition présente, que la valeur de $\mathrm {X}$ devient celle de $\mathrm {Y} ,$ en mettant simplement $-\cos \varepsilon$ à la place de $\sin \varepsilon ,$ et $\sin \varepsilon$ à la place de $\cos \varepsilon ,$ c’est-à-dire en augmentant l’angle $\varepsilon$ de $90$ degrés ; ce qui aura par conséquent lieu aussi dans les valeurs de $d\mathrm {X} ^{2}$ et de $d\mathrm {Y} ^{2}$ d’où il s’ensuit que, dès que l’on aura la valeur de $d\mathrm {X} ,$ on en pourra tirer tout de suite celle de $d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2},$ en négligeant simplement dans le carré de $d\mathrm {X} ,$ tous les termes qui renfermeraient $\sin \varepsilon \cos \varepsilon ,$ et effaçant dans les autres les carrés $\sin ^{2}\varepsilon$ et $\cos ^{2}\varepsilon \,;$ après cela il n’y aura plus qu’à faire le carré de $d\mathrm {Z} ,$ et l’on aura, après quelques réductions,

${\begin{aligned}d\mathrm {X} ^{2}&+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}\\=&r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \left[d\omega ^{2}+2\cos \pi d\omega d\varepsilon +d\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\sin ^{2}\pi d\varepsilon ^{2}+{\tfrac {1}{2}}d\pi ^{2}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+{\tfrac {1}{2}}\cos 2\mathrm {Q} '\left(\sin ^{2}\pi d\varepsilon ^{2}-d\pi ^{2}\right)-\sin 2\mathrm {Q} '\sin \pi d\pi d\varepsilon \right]\\&+2r^{2}\sin \mathrm {P} \cos \mathrm {P} \left[\sin \mathrm {Q} '\left(\sin \pi d\omega d\varepsilon +\sin \pi \cos \pi d\varepsilon ^{2}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \left.+\cos \mathrm {Q} '(d\omega d\pi +\cos \pi d\varepsilon d\pi )\right]\\&+r^{2}\sin ^{2}\mathrm {P} \left[\sin ^{2}\pi d\varepsilon ^{2}+d\pi ^{2}\right].\end{aligned}}$

Je différentie à présent cette équation par $\delta ,$ c’est-à-dire en affectant les différentielles de $\delta$ au lieu de $d\,;$ j’aurai, après avoir divisé par $2,$

$d\mathrm {X} \,\delta \,d\mathrm {X} +d\mathrm {Y} \,\delta \,d\mathrm {Y} +d\mathrm {Z} \,\delta \,d\mathrm {Z}$

$=r^{2}\cos ^{2}P\left[d\omega \,\delta \,d\omega +\cos \pi d\varepsilon \,\delta \,d\omega +\cos \pi d\omega \,\delta \,d\varepsilon -\sin \pi d\omega d\varepsilon \,\delta \pi +\ldots \right]+\ldots .$

Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que