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donner une idée de la méthode que je propose. Maintenant je considère que $\delta d\mathrm {X}$ est la même chose que $d\,\delta \mathrm {X} ,$ comme il est aisé de s’en convaincre en considérant la nature du Calcul différentiel ; il en est de même des autres différences affectées des $\delta \,d\,;$ on peut donc mettre partout $d\delta$ au lieu de $\delta \,d,$ et l’on aura

$d\mathrm {X} \,d\,\delta \mathrm {X} +d\mathrm {Y} \,d\,\delta \mathrm {Y} +d\mathrm {Z} \,d\,\delta \mathrm {Z} +$

$=r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \left(d\omega \,d\,\delta \omega +\cos \pi d\varepsilon \,d\,\delta d\omega +\cos \pi d\omega \,d\,\delta \varepsilon -\sin \pi d\omega d\varepsilon \,\delta \pi +\ldots \right)+\ldots .$

On prendra l’intégrale de cette équation, et, regardant les différences affectées de $\delta$ comme de simples variables, on fera disparaître leurs différentielles par l’opération assez connue des intégrations par partie ; ce qui donnera

${\begin{aligned}&d\mathrm {X\delta X} +d\mathrm {Y\delta Y} +d\mathrm {Z\delta Z} -\int \left(d^{2}\mathrm {X\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\delta Z} \right)\\&=r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} (d\omega \,\delta \omega +\cos \pi d\varepsilon \,\delta \omega +\cos \pi d\omega \,\delta \varepsilon +\ldots )+\ldots \\&-\int {\Bigl [}r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \left[d^{2}\omega \,\delta \omega +d(\cos \pi d\varepsilon )\delta \omega +d(\cos \pi d\omega )\delta \varepsilon +\sin \pi d\omega d\varepsilon \,\delta \pi +\ldots \right]+\ldots {\Bigr ]}.\end{aligned}}$

Or il est aisé de comprendre que cette équation doit être identique et que par conséquent il faut que la partie algébrique du premier membre soit égale à la partie algébrique du second, et la partie intégrale à la partie intégrale ; donc, n’ayant égard qu’à la partie intégrale de l’un et de l’autre membre, et ôtant le signe $\int ,$ on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}&d^{2}\mathrm {X\delta X} +d^{2}\mathrm {Y\delta Y} +d^{2}\mathrm {Z\delta Z} \\&=r^{2}\cos ^{2}\mathrm {P} \left[d^{2}\omega \,\delta \omega +d(\cos \pi d\varepsilon )\delta \omega +d(\cos \pi d\omega )\delta \varepsilon +\sin \pi d\omega d\varepsilon \,\delta \pi +\ldots \right]+\ldots .\end{aligned}}$

On peut remarquer encore que cette valeur ne différe de celle de

$d\mathrm {X} \,\delta \,d\mathrm {X} +d\mathrm {Y} \,\delta \,d\mathrm {Y} +d\mathrm {Z} \,\delta \,d\mathrm {Z}$

qu’en ce que la lettre $d$ qui était après la $\delta$ dans les différentielles aflectées de $\delta \,d$ se trouve maintenant devant les quantités mêmes qui multiplient ces différentielles, et que les autres termes, qui ne renferment