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XCVIII.

Soit fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}(1,2)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\(1,3)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}),\\(2,1)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-\mu _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})\,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Soit de plus $\rho =\mu _{1}v_{1}.$

On aura, en faisant ces substitutions dans les équations $\mathrm {(V),(U),(W)} ,$ et, mettant à la place de $\alpha _{1}{\sqrt {-1}},\beta _{1}{\sqrt {-1}},\gamma _{1}{\sqrt {-1}}$ leurs valeurs $-\mathrm {A_{1},-B_{1}} ,$ $-\mathrm {C_{1}} ,$ les équations suivantes

(X)$\left\{{\begin{aligned}2\mu _{2}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}\right)\mathrm {A} _{1}-f_{1}\chi _{2}(1,2)-f_{3}\chi _{2}(3,2)\mathrm {B} _{1}-f_{4}\chi _{2}(4,2)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{3}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{3}}}-{\text{ϐ}}_{3}\right)\mathrm {B} _{1}-f_{1}\chi _{3}(1,3)-f_{2}\chi _{3}(2,3)\mathrm {A} _{1}-f_{4}\chi _{3}(4,3)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{4}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{4}}}-{\text{ϐ}}_{4}\right)\mathrm {C} _{1}-f_{1}\chi _{4}(1,4)-f_{2}\chi _{4}(2,4)\mathrm {A} _{1}-f_{3}\chi _{4}(3,4)\mathrm {B} _{1}=0,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tirera facilement les valeurs de $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} .$

Or, en négligeant les termes affectés de $n,$ on a $\mathrm {V} _{1}=\mu _{1}{\sqrt {-1}}$ (Article précédent) ; donc, puisque $\alpha _{1}=-{\frac {\mathrm {A} _{1}}{\sqrt {-1}}},$ on aura $\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {A} _{1}\,;$ et de même $\beta _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {B} _{1},\ \gamma _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {C} _{1}.$ Donc l’équation $(\mathrm {T} )$ de l’Article XCVI deviendra, après toutes les substitutions,

(Y)

$2\mu _{1}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}\right)-f_{2}\chi _{1}(2,1)\mathrm {A} _{1}-f_{3}\chi _{1}(3,1)\mathrm {B} _{1}-f_{4}\chi _{1}(4,1)\mathrm {C} _{1}=0\,;$

c’est l’équation qui donnera la valeur de $\rho .$