XCIX.
Soit, pour abréger,
[1],
et ainsi des autres ; les équations
donneront, après avoir mis au lieu de
leurs valeurs approchées
(Article XLV),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&\left[(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} -(1,2)(3,4)(4,3)+(1,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,3)(3,4)(4,2)+(1,4)(3,2)(4,3)+(1,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\\\mathrm {B} _{1}=&\left[(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} +(1,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}+(1,2)(2,3)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,4)(2,3)(4,2)+(1,2)(2,4)(4,3)-(1,3)(2,4)(4,2)\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{3}^{2}}},\\\mathrm {C} _{1}=&\left[(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} +(1,3)(3,4)\mathrm {K} _{2}-(1,4)(2,3)(3,2)\right.\\&\quad +\left.(1,2)(2,3)(3,4)+(1,3)(2,4)(3,2)+(1,2)(2,4)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{4}^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ada2905ea8e868c0b07547fd83d2f9f3e09eb30)
Chacune de ces quantités étant divisée par
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}-(2,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\\&-(2,3)(3,4)(4,2)-(2,4)(3,2)(4,3)-(2,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfa8298914309c27434aa0a9310b2e6c35bb38f)
Ces valeurs étant ensuite substituées dans l’équation
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {Z} )\ \ \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K_{1}K_{2}} -(2,4)(4,2)\mathrm {K_{1}K_{3}} -(2,3)(3,2)\mathrm {K_{1}K_{4}} \\&-(4,1)(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} -(3,1)(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} -(2,1)(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} \\&-\left[(2,3)(3,4)(4,2)+(2,4)(3,2)(4,3)\right]\mathrm {K} _{1}\\&-\left[(3,1)(1,4)(4,3)+(4,1)(1,3)(3,4)\right]\mathrm {K} _{2}\\&-\left[(2,1)(1,4)(4,2)+(4,1)(1,2)(2,4)\right]\mathrm {K} _{3}\\&-\left[(2,1)(1,3)(3,2)+(3,1)(1,2)(2,3)\right]\mathrm {K} _{4}\\&+(2,1)(1,2)(3,4)(4,3)-(2,1)(1,3)(3,4)(4,2)\\&-(2,1)(1,4)(3,2)(4,3)-(3,1)(1,4)(2,3)(4,2)\\&-(3,1)(1,2)(2,4)(4,3)+(3,1)(1,3)(2,4)(4,2)\\&+(4,1)(1,4)(2,3)(3,2)-(4,1)(1,2)(2,3)(3,4)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ed2ec15388ec2324464ecc68b42b8a240101d4)
![{\displaystyle -(4,1)(1,3)(2,4)(3,2)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1504320b0621e31f9ed9c151dc6c01ec0599ab2)
- ↑ Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les suivants, diverses lettres telles que
qui ont été précédemment affectées à un autre usage, mais il n’y a pas évidemment de confusion à redouter.
(Note de l’Éditeur)