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$\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {E} _{1}$ étant deux constantes arbitraires que nous déterminerons dans un moment.

On aura donc par là

${\begin{aligned}(\gamma )\quad \mu _{1}\mathrm {x} _{1}&-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\\&-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\\&=\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t,\end{aligned}}$

équation qui suffira pour trouver la valeur de $x_{1},$ comme on le verra ci-après.

CII.

Soit, lorsque $t=0,$

$\mathrm {x} _{1}=\mathrm {X} _{1},\quad \mathrm {x} _{2}=\mathrm {X} _{2},\quad \mathrm {x} _{3}=\mathrm {X} _{3},\quad \mathrm {x} _{4}=\mathrm {X} _{4},$

${\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=\mathrm {Y} _{1},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=\mathrm {Y} _{4}.$

On aura (Article XCII)

$\mathrm {P=X_{2},\quad Q=X_{3},\quad R=X_{4}} ,\quad p=0,\quad q=0,\quad r=0\,;$

ensuite

${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {Y} _{4},$

${\frac {dp}{dt}}=(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {X} _{2},\quad {\frac {dq}{dt}}=(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {X} _{3},\quad {\frac {dr}{dt}}=(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {X} _{4}.$

Donc, substituant ces valeurs dans les équations $(\alpha )$ et $(\beta ),$ et faisant $t=0,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {D_{1}=Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4}} ,\\&\mathrm {E_{1}\ =-\left(\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4}\right)} .\\\end{aligned}}$

CIII.

Soit maintenant, pour abréger,

${\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P=(P)} ,\quad {\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q=(Q)} ,$

${\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R=(R)} \,;$