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l’équation $(\gamma )$ deviendra

$\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}(P)-B_{1}(Q)-C_{1}(R)} =\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t.$

Substituons successivement, dans cette équation, au lieu de $p,$ ses quatre valeurs $\rho ',\rho '',\rho ''',\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ (Article XCIX), on aura

${\begin{aligned}\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'_{1}\ (P)-B'_{1}\ (Q)-C'_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} '_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\,\right)t-\mathrm {E} '_{1}\ \,\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A''_{1}\,(P)-B''_{1}\,(Q)-C''_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} ''_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t-\mathrm {E} ''_{1}\ \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'''_{1}(P)-B'''_{1}(Q)-C'''_{1}(R)} =&\mathrm {D} '''_{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t-\mathrm {E} '''_{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(P)-B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(Q)-C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(R)} =&\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t-\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t,\end{aligned}}$

$\mathrm {A'_{1},B'_{1},C'_{1},D'_{1},E'_{1}\,;A'_{2},B'_{2},C'_{2},D'_{2},E'_{2}} ,\ldots$ étant ce que deviennent les quantités $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1},D_{1},E_{1}}$ lorsque $\rho$ devient $\rho ',\rho '',\ldots .$

Donc, éliminant de ces quatre équations les trois inconnues $\mathrm {(P),(Q)} ,$$\mathrm {(R)} ,$ on aura la valeur de $\mathrm {x} _{1}$.

CIV.

Pour cet effet, je multiplie la seconde équation par $\alpha _{1},$ la troisième par $\beta _{1},$ la quatrième par $\gamma _{1},$ ($\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ étant de nouvelles indéterminées) ; après quoi je les ajoute toutes quatre ensemble, et je fais évanouir séparément chacun des coefficients de $\mathrm {(P),(Q),(R)} \,;$ j’ai

$(\delta )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'_{1}+\alpha _{1}A''_{1}+\beta _{1}A'''_{1}+\gamma _{1}A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {B'_{1}+\,\alpha _{1}B''_{1}+\beta _{1}B'''_{1}+\gamma _{1}B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {C'_{1}+\alpha _{1}C''_{1}+\beta _{1}C'''_{1}+\gamma _{1}C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\end{aligned}}\right.$