Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\varepsilon '_{1}=&{\frac {\delta '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\varepsilon ''_{1}=&{\frac {\alpha _{1}\delta ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\varepsilon '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35ce106803599ead1831280e332eebc948803db)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}&=\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]+\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e45f2297b39144e46ae2ab9d82446fe8fb0266a)
CVI.
Scolie. — À l’égard des valeurs de
on les trouvera aisément par résolution des équations mais on pourrait encore se servir d’une autre méthode assez simple, que j’exposerai ici en peu de mots.
Qu’on multiplie la seconde de ces équations par
et la troisième par
(
et
étant deux indéterminées), et qu’on les ajoute toutes ensemble, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}+(\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1})\alpha _{1}&+(\mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1})\beta _{1}\\&+\left(\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\gamma _{1}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e90f4ddf6394480aa30e51f683967027df0b42)
Or, pour avoir la valeur de
, on fera
![{\displaystyle \mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1}=0,\quad \mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f21dd94c85a5bc558e3fc7557464b5e23e6c2b3)
et l’on aura
![{\displaystyle \alpha _{1}=-{\frac {\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}}{\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714f42c38199949cf4eb24946e72d725709c6de3)
.
Les quantités
et
doivent donc être telles, que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+b\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181cb8100dbb7d1d12c7d15b3296e7cc05ba5367)
,
en mettant successivement, au lieu de
et
.