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Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité,

{\begin{alignedat}{2}\varepsilon '_{1}=&{\frac {\delta '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\varepsilon ''_{1}=&{\frac {\alpha _{1}\delta ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\varepsilon '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}

on aura

{\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}&=\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]+\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}

CVI.

Scolie. — À l’égard des valeurs de $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ on les trouvera aisément par résolution des équations mais on pourrait encore se servir d’une autre méthode assez simple, que j’exposerai ici en peu de mots.

Qu’on multiplie la seconde de ces équations par $b$ et la troisième par $c$ ( $b$ et $c$ étant deux indéterminées), et qu’on les ajoute toutes ensemble, on aura