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CXIII.

Remarque I. — Nous avons vu que les quantités $\rho$ et $\sigma$ dépendent de deux équations du quatrième degré (Articles XCIX et CX). Or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner. Le premier est celui où ces équations auraient des racines égales ; le second, celui où elles auraient des racines-imaginaires.

Voyons donc ce qu’il faudra faire dans ces deux cas

1^o Supposons que deux quelconques des valeurs de $\rho$ soient égales entre elles, par exemple $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\rho '''.$ On fera $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\rho '''+i,$ $i$ étant une quantité évanouissante, et l’on aura (Article XCIX)

$\mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=A'''_{1}F} i,\quad \mathrm {B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=B'''_{1}G} i,\quad \mathrm {C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=C'''_{1}H} i,$

$\mathrm {F,G,H}$ étant les coefficients de $d\rho '''$ dans les différentielles de $\mathrm {A'''_{1},B'''_{1},C'''_{1}} .$

Donc les équations $(\delta )$ de l’Article CIV deviendront, en faisant $\beta _{1}+\gamma _{1}=b$ et $\gamma _{1}i=c,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+a\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {A} '''_{1}+c\mathrm {F} =&0,\\\mathrm {B} '_{1}+a\mathrm {B} ''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {G} =&0,\\\mathrm {C} '_{1}+a\mathrm {C} ''_{1}+b\mathrm {C} '''_{1}+c\mathrm {H} =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $\alpha _{1},b$ et $c.$

On aura de même (Article CIV)

$\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\delta '''_{1}+\Delta i\quad {\text{et}}\quad \omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\omega '''_{1}+\Omega i,$

$\Delta$ et $\Omega$ étant pareillement les coefficients de $d\rho _{3}$ dans la différentiation de $\delta '''_{1}$ et $\omega '''_{1}.$

Donc

${\begin{aligned}\cos &\left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]\\&=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$